矩阵与变换练习题.doc

【矩阵与变换】是高中数学中的重要概念，主要涉及线性变换、坐标变换以及矩阵的性质。本题目的练习涵盖了矩阵变换的多个方面。 1. 曲线的变换通常通过矩阵来实现。由曲线22221xy+= 变换为221812 xy+=，我们可以看到横坐标和纵坐标都发生了变化。对于这种形式的变换，可以通过比较系数找到变换矩阵，这里变换矩阵为221812éùêúêúêúêúêúêúêúêú-ëû。 2. 矩阵乘法代表复合变换。给定矩阵A和B，先A后B的变换矩阵等于AB。对于题目中给出的矩阵31 cos60 sin6022 和31sin60 cos60 22，它们的乘积即为先A后B的复合变换矩阵。 3. 81 1 10 10 1xéù éùêú êú=êú êúëû ëû 表示一个线性变换，其中12log x 是这个变换的结果。解这个线性方程可以找到x的值。 4. 矩阵变换对应于角度的旋转。点22,22Aæö÷ç÷ç÷÷çèø在矩阵 cos sinsin coséù-êúêúëû 下变为了(1,0)，这表明点A经历了绕原点逆时针旋转的角度，由于点(1,0)是单位圆上第一象限的点，所以我们可以解出旋转角度。 5. 矩阵的特征值是其固有的性质，若矩阵abAcdéùêú= êúëû有两个不等的特征值m和n，则它们满足的特性是22mn+=，这体现了特征值之和与矩阵元素的关系。 6. 在密码学中，矩阵用于加密。英文字母转化为数字，如1,2,...,26对应a到z。给定的二阶矩阵用于对信息进行加密，"come on"转化为数字后，通过矩阵变换得到加密信息。 7. 解这个问题需要找出矩阵M，使得点A(1,2)、B(3,1)和C(x,0)在M的作用下分别变为A¢(11,5)、B¢(5,1)和C¢(x,2)。通过建立线性方程组可以求解矩阵M及x和y的值。 8. 函数2( )23f xxx=+-涉及到三角函数的最值问题，可以通过三角恒等变换找到最值。 9. 矩阵方程ABC=简化后，可求得函数( )f x 的最小值。这需要解线性代数方程并分析函数的性质。 10. 问题分为三部分：(1)矩阵A对应的变换是纵坐标变为原来的2倍，然后顺时针旋转90度，可以构建A矩阵；(2)求矩阵A的逆矩阵B；(3)利用矩阵乘法求解M的特征值和特征向量，以及B作用下的结果50M。 11. △ABC在矩阵MN作用下的变换可通过矩阵乘法计算新顶点坐标，从而求得变换后的图形面积。 12. 工业增长模型11113,22iiiiiixxyi Nyxy描述了污染与工业发展的关系，通过给定的基年数据和模型，可以预测第10个周期的污染水平和工业发展水平。 以上是对题目中各个知识点的详细说明，涵盖了矩阵变换的基本概念、性质及其在实际问题中的应用。通过这些练习，学生可以深入理解矩阵与变换在几何、密码学、统计建模等多个领域的应用。