图形学作业四矩阵变换二维坐标推导，文档中公式均为mathtype类型。推导详细，步骤清晰。主要写了证明两个连续的旋转变换的矩阵运算具有互换性、已知三角形ABC各顶点的坐标A(1, 1) B(4, 1) C(3, 4)，相对直线y=x+2做对称变换后到达A′、B′、C′。描述变换过程；求各步变换矩阵（要求用齐次坐标进行变换）；计算A′、B′、C′的坐标值。现有XY平面上的一条直线段P1（x1，y1），P2（x2，y2）；先绕P2 点顺时针旋转θ角，再将P2平移到点P3（x3，y3） 。求出变换后直线的两端点坐标。对于如下图形，各点坐标为：A(5,5)、B(5,1)、C(3,5)、A´(3,1)、B´(1,1)、C´(3,2)。利用二维坐标变换规则，求出△ABC到△A´B´C´的变换矩阵。
在计算机图形学中，二维坐标变换是至关重要的概念，它涉及到如何通过数学公式来改变图形的位置、方向和形状。在本篇文档中，主要探讨了两个连续旋转变换的互换性、对称变换以及一系列复杂的坐标变换过程，包括旋转、平移和比例变换。
我们关注的是两个连续旋转变换的互换性。假设我们有两个旋转矩阵R1和R2，分别代表第一次和第二次旋转。根据线性代数的知识，旋转矩阵是正交矩阵，其乘积仍保持正交性，即R1R2和R2R1都是旋转矩阵，并且它们对坐标的影响是相同的。这意味着无论我们先应用哪个旋转，最终结果都是一样的，这体现了矩阵运算的顺序不敏感性。
接着，文档讨论了一个具体的例子，涉及一个三角形ABC及其对称变换。三角形的顶点分别为A(1, 1)、B(4, 1)和C(3, 4)。相对直线y=x+2，我们执行了对称变换，先平移到直线，然后沿直线做反射，最后再进行逆向平移。为了实现这些变换，我们使用了齐次坐标，这是一种扩展的坐标系统，可以方便地表示平移变换。通过构建适当的变换矩阵，我们可以计算出对称变换后的顶点坐标A'、B'和C'。
在第四部分，我们处理了一条直线段P1P2的旋转和平移。P1绕点P2顺时针旋转θ角度，然后将P2平移到点P3。旋转和平移的矩阵可以通过旋转矩阵R(-θ)和平移矩阵T(P3-P2)来表示，其中R矩阵描述旋转，T矩阵描述平移，通过这些矩阵的乘积，我们可以得到新的端点坐标。
我们解决了一个实际的图形变换问题。给定的图形由三个点A(5,5)、B(5,1)和C(3,5)组成，目标是将其变换为A'(3,1)、B'(1,1)和C'(3,2)。这个过程包括平移、旋转和比例变换。所有点被平移到原点，然后绕原点旋转，接着进行比例缩放，最后再平移到目标位置。通过组合这些变换的矩阵，我们得到了从△ABC到△A'B'C'的总变换矩阵。
总结来说，这篇文档深入探讨了二维坐标变换的基本原理和应用，包括旋转、平移、对称和比例变换。这些基本操作是图形学中构建复杂图形和动画的基础，也是理解计算机图形处理机制的关键。通过掌握这些知识，我们可以有效地控制和操纵屏幕上的任何图形元素。
