计算机图形学大作业 二维图形变换

本文实现了二维图形的几何变换， 以矩阵运算作为数学基础，采用旋转、平移和缩放等基本几何变换，对一简单的二维图形做变换。为了保证矩阵运算一致性，故引入了齐次坐标的概念。本文选择了一三角形，编写VC++程序，验证了上述几个几何变换。 计算机图形学是研究如何在计算机中表示和操作图形的学科，而二维图形变换是其中的基础内容。这篇由赵双祥同学完成的作业主要探讨了如何使用矩阵运算来实现二维图形的几何变换，包括平移、旋转、缩放、反射以及错切等基本操作。 几何变换通常基于矩阵运算，因为矩阵可以简洁地描述复杂的线性变换。在二维空间中，每个点可以用一个二维向量表示，即(x, y)坐标。引入齐次坐标系统是为了方便处理变换，它通过添加一个额外的维度w（通常是1），使得变换矩阵可以统一地表示平移、旋转等操作。在齐次坐标下，一个点P=(x, y, 1)可以通过一个3x3的变换矩阵M乘以点的齐次坐标向量来完成变换。 1. 平移变换：平移变换不改变图形的形状和大小，仅改变其位置。例如，将点P(x, y)沿x轴正方向平移a，沿y轴正方向平移b，可以表示为新的点P'(x', y') = (x+a, y+b)。在矩阵表示中，平移变换矩阵是这样的形式： \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 2. 旋转变换：旋转是围绕一个固定点（通常为原点）改变图形的方向。例如，点P绕原点逆时针旋转θ角度，新的坐标为P'(x', y') = (x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ)。对应的旋转矩阵是： \[ \begin{bmatrix} cosθ & -sinθ & 0 \\ sinθ & cosθ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 3. 缩放变换：缩放会改变图形的大小，但不改变形状。例如，将点P沿x轴放大s倍，沿y轴放大t倍，新的坐标为P'(x', y') = (sx, ty)。缩放矩阵为： \[ \begin{bmatrix} s & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 4. 反射变换：反射是对称变换，关于x轴、y轴或原点的反射。反射变换矩阵根据反射轴的不同而变化，例如关于x轴的反射是： \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 5. 错切变换：错切变换使图形沿坐标轴产生不等量的位移。例如，沿y轴错切，点P' = (x + bx, y)；沿x轴错切，点P' = (x, y + ax)，变换矩阵相应地改变。 在赵双祥同学的作业中，他使用了VC++编程，通过定义不同的矩阵来表示这些变换，然后应用这些矩阵到一个三角形上，实现了图形的动态变换。例如，py、xz、bl、cq、fs和ys矩阵分别对应平移、旋转、缩放、错切、反射和原始坐标。程序中可能包含了读取用户输入、更新图形状态并显示变换结果的功能。 这篇作业通过实例展示了二维图形变换的基本理论和实践应用，使用了矩阵运算和齐次坐标系统，为理解计算机图形学的基本概念提供了一个清晰的起点。