在图形学中，几何变换是将几何对象从一个位置、形状或方向转换到另一个位置、形状或方向的过程。这些变换对于计算机图形的渲染、动画和交互性至关重要。本讲主要涵盖了二维与三维空间中的基本几何变换，包括平移、旋转、尺度变换、映射以及齐次坐标的概念。
我们来看**平移变换**。平移是在保持物体形状不变的情况下，将物体整体移动到一个新的位置。在二维空间中，平移变换可以通过改变点的坐标来实现。例如，一个点P[x, y]通过平移m个单位水平距离和n个单位垂直距离会移动到新的位置P'[x', y']，其中x' = x + m和y' = y + n。在三维空间中，平移涉及到三个坐标轴，即x' = x + m, y' = y + n, z' = z + k。
接下来是**旋转变换**。旋转是指物体围绕一个固定点（通常称为原点）按照特定角度进行转动。在二维空间中，绕原点逆时针旋转的角度记为θ，旋转公式为x' = x * cos(θ) - y * sin(θ) 和 y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)。在三维空间中，情况更为复杂，可以绕X、Y、Z轴旋转，也可以绕任意轴旋转。绕Z轴的旋转可以使用类似二维空间的公式，而绕任意轴（表示为单位向量n）的旋转则需要用到更复杂的矩阵运算，如欧拉角或四元数。
**尺度变换**用于改变物体的大小。在二维空间中，尺度变换可以用两个系数Sx和Sy来表示，其中x' = x * Sx, y' = y * Sy。如果Sx和Sy相等，那么是均匀缩放，物体按比例放大或缩小；若Sx和Sy不等，则物体会沿不同坐标轴方向发生伸展或压缩。在三维空间中，增加了一个尺度系数Sz，形成完整的尺度变换矩阵。
**映射**是将一个几何区域内的点映射到另一个区域的过程，可以是线性的（如仿射变换），也可以是非线性的（如投影）。映射通常用变换矩阵来描述，可以实现平移、旋转、缩放等多种组合效果。
我们讨论**齐次坐标**。齐次坐标是图形学中引入的一种扩展坐标系统，允许我们方便地处理平移、旋转和缩放等变换。在二维空间中，一个点P[x, y]在齐次坐标下表示为[P, 1]，而在三维空间中为[P, 1]，其中P是三维向量。通过使用4x4的变换矩阵，我们可以同时表示平移、旋转和缩放，简化了计算过程。
课后作业要求回答三维空间中绕任意轴的旋转公式。这通常涉及到万向节死锁问题，因此需要使用四元数或旋转向量来表示旋转。绕任意轴旋转的公式可以通过以下步骤得到：
1. 将旋转轴n归一化。
2. 计算旋转轴n和单位Z轴的夹角α。
3. 使用两轴旋转法，先绕Z轴旋转α得到中间轴，再绕中间轴旋转θ。
掌握这些基本概念对于理解图形学中的几何变换至关重要，它们是创建复杂图形、动画和虚拟环境的基础。通过课堂讨论、问题式教学和启发式教学方法，可以更深入地理解和应用这些概念。
