矩阵乘法的简单性质练习题.doc

在初高中数学中，矩阵乘法是一个重要的概念，它在解决线性方程组、几何变换等问题时起着关键作用。下面将详细讲解矩阵乘法的一些基本性质，并结合题目给出的练习进行解析。 1. 矩阵乘法的交换性：矩阵乘法通常不满足交换律，即对于两个矩阵M和N，MN不等于NM。题目中的例子1011与10102不满足MNNM=NMN，这是因为矩阵乘法是按照行和列对应元素相乘再相加的规则进行的，不同顺序会导致结果变化。 2. 矩阵乘法的计算： - (1) 0 1 1 * 3 0 1 * 1 0 0 = 0 * 3 + 1 * 1 + 1 * 0 = 1, 0 * 0 + 1 * 0 + 1 * 0 = 0, 1 * 3 + 0 * 1 + 0 * 0 = 3，因此得到结果矩阵为1 0 3。 - (2) 4 1 3 * 0 2 = 4 * 0 + 1 * 2 = 2, 1 * 0 + 3 * 2 = 6，所以得到结果矩阵为2 6。 3. 矩阵乘法的结合律：对于三个矩阵A, B, C，通常有(A * B) * C = A * (B * C)，但需要注意的是，这仅在可以进行乘法的情况下成立。证明：0 0 1 * 0 1 0 * 0 0 1 = 0 * 0 + 0 * 1 + 1 * 0 = 0, 0 * 0 + 0 * 0 + 1 * 1 = 1，因此得到0 0 1 0 0 1 * 0 0 1 = 0 0 1。 4. 矩阵乘法与逆矩阵的关系：如果ad ≠ 0，那么矩阵10 100 10101 01 0101babaacbccdd的逆矩阵是dad-1，因为ad-1ad=1，所以两边乘以10 100 10101 01 0101babaacbccdd的结果为单位矩阵，证明了等式成立。 5. 矩阵乘法与几何变换：1030和10102代表的矩阵分别对应平移和旋转，MN和NM表示的变换顺序不同，因此其效果也不同。例如，1030先向右平移3个单位，然后10102绕原点顺时针旋转90度，而NM则先旋转再平移，其结果图形位置会有所不同。 6. 构造矩阵：要构造非零矩阵M使得20 00 0M=，可以取M为20 0，因为2*2=2，0*0=0。同样，要构造N使得2NN=，可取N为20 0，因为2*2=2，2*0+0*2=0。 7. 矩阵的幂运算与几何变换： - (1) 计算12331011022, * 100 23122M，首先计算每个元素：1*1+2*0+3*2=7, 1*0+2*3+3*1=9, 1*2+2*1+3*2=10，1*1+0*0+2*1=3，0*1+2*3+1*2=8，1*2+0*1+2*2=6，得到123MM M M=7 9 103 8 6。 - (2) 点(1,1)在矩阵M对应的几何变换下，新坐标为M * [1; 1]，即7 9 10 * 1 1 = 7 * 1 + 9 * 1 = 16，所以点(1,1)变为点(16, 16)。 以上是关于矩阵乘法的一些基本性质和练习题解析，通过这些练习，我们可以更好地理解矩阵乘法的运算规则及其在几何变换中的应用。在学习过程中，熟练掌握这些基本概念和技巧对于解决更复杂的数学问题至关重要。