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2-7.设 ,其中 是 阶单位矩阵, 是 维单位列向量.
证明对任意一个 维列向量 ,都有 .
证 因 ,故对任意一个 维列向量 有, ,
从而有
故有 ,证毕.
2-8.对于任意的方阵 ,证明:
〔1〕 是对称矩阵, 是反对称矩阵;
〔2〕 可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和.
证〔1〕由 ,所以 是对称
矩阵;
,所以 是反对称矩阵.
证〔2〕 .
2-9.证明:如果 都是 阶对称矩阵,那么 是对称矩阵的充分必要
条件是 与 是可交换的.
证 必要性. 因 ,且 ,有
,
所以 与 是可交换的.
充分性. 由 ,及 ,得
,
所以 是对称矩阵.
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