空间向量及空间角练习题.doc

【空间向量与空间角】 空间向量是三维几何中的基本概念，用于描述空间中直线、平面和多面体的方向和位置。空间向量由起点和终点决定，两个向量的夹角可以用来衡量它们之间的相对方向。在解决空间向量问题时，通常会涉及到向量的加减、标量乘法、点积（或称内积）以及叉积（或称外积）。 1. 向量夹角：两个向量的夹角与它们在空间中的相对位置有关。如果两条异面直线 l1 和 l2 的方向向量夹角为 150°，则 l1 与 l2 所成的角可能是 30° 或 150°，因为直线所成的角可能等于或等于方向向量的夹角的补角。题中给出的选项 A 是正确的，因为异面直线所成角的范围是 [0°, 90°)。 2. 直线所成角的余弦值：计算两条直线 AB 和 CD 在空间中的夹角，可以通过它们的方向向量的点积来得到。如果 AB 和 CD 的方向向量分别是 (2, -2, -1) 和 (-2, -3, -3)，那么余弦值可以通过点积公式计算得到。在这种情况下，余弦值为正值，意味着两条直线的夹角小于 90°。根据提供的答案，直线 AB 与直线 CD 所成角的余弦值为 A 选项所示。 3. 平面夹角：平面 PAB 和平面 PCD 的夹角可以通过它们的法向量的夹角来确定。如果在正方形 ABCD 外有一个点 P，使得 PA 垂直于平面 ABCD，并且 PA 的长度等于 AB，那么可以通过构建空间直角坐标系来找到法向量。题中提到 AE 是平面 PCD 的法向量，而 AD 是平面 PAB 的法向量。通过计算法向量的点积可以得到平面的夹角。在本例中，平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为 45°。 4. 二面角的余弦值：二面角是两个平面之间的夹角，可以通过求解两个平面的法向量的夹角来找到。在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，如果 AA1=AB=2AD，我们可以找到特定点的位置来确定法向量。例如，二面角 B1A1BE 的余弦值可以通过两个平面 A1BE 和 A1B1B 的法向量的点积计算得出。在给定的问题中，余弦值为 C 选项所示。 5. 异面直线的夹角：在正方体中，如果 M 是 A1B1 的中点，N 是 BB1 的中点，可以建立坐标系来找到 AM 和 的方向向量，然后计算它们的点积以求得异面直线的夹角余弦值。 6. 向量与平面法向量的夹角正弦值：在空间直角坐标系中，向量 AB 与平面 xOz 的夹角可以通过平面的法向量 n=(0, t, 0) 和向量 AB 的点积计算得出。正弦值等于点积的绝对值除以向量的模长之积。 7. 二面角的正切值：如果 E、F 分别位于正方体棱 BB1 和 CC1 上，且满足特定比例关系，可以找到平面 AEF 和平面 ABC 的法向量，然后计算它们的夹角的正切值来表示二面角。 总结来说，空间向量和空间角是解决立体几何问题的关键工具，包括计算直线、平面的夹角，寻找法向量，以及确定二面角的大小。通过理解和应用这些概念，可以解决复杂的空间几何问题。