一、总体要求
主要考察学生对《数学分析》的基本知识、基本理论和基本技能的掌握情况以及用数学分析的
理论与方法分析问题、解决问题的能力.
二、内容
1. 集合与函数
1) 实数集
、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、单调有界性
定理、闭区间套定理、Bolzano-Weierstrass 定理、Cauchy 收敛原理.
2)
上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、
上的闭矩形
套定理、Heine-Borel 定理(有限覆盖定理)以及上述概念和定理在
上的推广.
3) 函数、映射、变换等概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定
理,初等函数以及与之相关的性质.
2. 极限与连续
1) 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质).
2) 数列收敛的条件(Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),
极限
及其应用.
3)一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、
迫敛性),Heine 归结原则和 Cauchy 收敛准则,两个重要极限
sin
1
0
lim 1, lim(1 )
x
x
xx
xx
e
→ →
= + =
及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号
O
与
o
的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的
关系.
4) 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集
上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性).
3. 一元函数微分学
1)导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微
与可导的关系、一阶微分形式不变性.
2)微分学基本定理:Fermat 定理,Rolle 定理,Lagrange 定理,Cauchy 定理,Taylor 公式
(Peano 余项与 Lagrange 余项).
3)一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线
的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达(L'Hospital)法则、近似计算.
4. 多元函数微分学
1) 偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数