### 大连海事大学602数学分析2021年考研专业课初试大纲解析
#### 一、分析基础
1. **实数概念、确界**：
- **知识点**：实数集的基本性质，确界的存在性原理。
- **要求**：考生需了解实数公理体系的基础知识，掌握确界的定义及其性质，能够运用确界原理解决实际问题。
- **例题**：证明一个非空有上界的集合必存在上确界。
2. **函数概念**：
- **知识点**：函数定义域、值域、复合函数、反函数等。
- **要求**：熟练掌握函数的各种定义和性质，能够灵活应用这些概念解决问题。
- **例题**：给出一个函数的例子，说明它的定义域、值域，并判断是否存在反函数。
3. **序列极限与函数极限**：
- **知识点**：序列极限的概念、性质、运算规则；函数极限的概念、性质、运算规则。
- **要求**：掌握序列和函数极限的基本理论，包括极限的性质和求解方法。
- **例题**：求解一个具体的数列或函数的极限值。
4. **无穷大与无穷小**：
- **知识点**：无穷大的定义、性质；无穷小的定义、性质；同阶、高阶、低阶无穷小的概念。
- **要求**：理解无穷大与无穷小的基本概念，能够识别和处理不同类型的无穷大与无穷小问题。
- **例题**：证明两个无穷小量的比值是有限的。
5. **连续概念及基本性质，一致连续性**：
- **知识点**：连续性的定义及其基本性质；一致连续性的定义。
- **要求**：掌握函数连续性的定义及各种性质，理解一致连续性的概念，并能证明相关命题。
- **例题**：证明一个函数在其定义域内是一致连续的。
6. **收敛原理**：
- **知识点**：序列的收敛性、函数的极限。
- **要求**：理解序列和函数的收敛性，掌握收敛原理的相关理论。
- **例题**：证明一个特定的序列是收敛的，并求出它的极限值。
#### 二、一元微分学
1. **导数概念及几何意义**：
- **知识点**：导数的定义、几何意义。
- **要求**：掌握导数的定义及其几何意义，能够利用定义求解导数值。
- **例题**：求一个具体函数在某点处的导数值。
2. **求导公式求导法则**：
- **知识点**：基本的求导公式、复合函数求导法则、乘法法则、除法法则。
- **要求**：熟练应用各种求导公式和法则进行求导。
- **例题**：对一个由参数方程给出的函数进行求导。
3. **高阶导数**：
- **知识点**：二阶导数、三阶导数的概念。
- **要求**：理解高阶导数的概念，能够求解函数的高阶导数。
- **例题**：求一个函数的二阶导数。
4. **微分**：
- **知识点**：微分的概念、一阶微分形式的不变性。
- **要求**：理解微分的概念，能够利用微分进行近似计算。
- **例题**：利用微分进行函数值的近似计算。
5. **微分中值定理**：
- **知识点**：Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy中值定理。
- **要求**：掌握微分中值定理的含义，能够利用这些定理解决函数的零点存在性和不等式证明问题。
- **例题**：利用Lagrange中值定理证明一个关于函数值的不等式。
6. **L’Hospital法则**：
- **知识点**：L’Hospital法则的适用条件及应用。
- **要求**：掌握L’Hospital法则，能够利用该法则求解函数的极限问题。
- **例题**：利用L’Hospital法则求解一个未定型极限问题。
7. **Taylor公式**：
- **知识点**：Taylor公式的形式（Lagrange余项、Peano余项）。
- **要求**：理解Taylor公式的意义，能够将给定函数展开为Taylor级数，并利用它解决不等式证明和函数极限问题。
- **例题**：将某个函数在x=0点展开成带有Peano余项的Taylor级数。
8. **应用导数研究函数**：
- **知识点**：函数的增减性、凹凸性、极值与最值。
- **要求**：掌握利用导数判断函数增减性和凹凸性的方法，能够求解一元函数的极值和最值问题。
- **例题**：利用导数判断一个函数的增减性，并求出其极值点。
#### 三、一元积分学
1. **不定积分法与可积函数类**：
- **知识点**：不定积分的基本概念、基本性质；可积函数的定义及其积分方法。
- **要求**：理解不定积分的概念，掌握基本积分表和积分方法。
- **例题**：求一个具体的函数的不定积分。
2. **定积分的概念、性质与计算**：
- **知识点**：定积分的概念、基本性质；函数在有限区间上可积的条件；定积分的计算方法。
- **要求**：掌握定积分的概念和性质，能够熟练计算定积分。
- **例题**：计算一个具体的定积分。
3. **定积分的应用**：
- **知识点**：定积分在几何中的应用（如面积、体积、弧长等）、在物理中的应用（如质量中心等）。
- **要求**：能够利用定积分解决几何和物理问题。
- **例题**：利用定积分计算一个平面图形的面积。
4. **广义积分**：
- **知识点**：广义积分的概念、收敛性判断。
- **要求**：理解广义积分的概念，掌握广义积分收敛性的判断方法。
- **例题**：判断一个广义积分是否收敛。
#### 四、级数
1. **数项级数的敛散判别与性质**：
- **知识点**：数项级数的收敛性判别法（如比较判别法、D’Alembert判别法等）。
- **要求**：掌握数项级数收敛性的各种判别方法，能够计算特殊数项级数的和。
- **例题**：判断一个数项级数是否收敛。
2. **函数项级数与一致收敛性**：
- **知识点**：函数项级数的收敛域、一致收敛性的定义。
- **要求**：理解函数项级数的一致收敛性，能够确定函数项级数的收敛域。
- **例题**：确定一个函数项级数的收敛域，并判断其是否一致收敛。
3. **幂级数**：
- **知识点**：幂级数的概念、收敛半径、收敛域。
- **要求**：掌握幂级数的定义及其收敛性，能够求解幂级数的收敛域。
- **例题**：求一个幂级数的收敛半径。
4. **Fourier级数**：
- **知识点**：Fourier级数的定义、系数的计算方法。
- **要求**：理解Fourier级数的基本概念，能够计算函数的Fourier级数。
- **例题**：求一个周期函数的Fourier级数。
以上内容涵盖了大连海事大学2021年考研数学分析专业的考试大纲，通过系统地学习这些知识点，考生可以全面掌握数学分析的基础理论和技术，为后续的学习打下坚实的基础。
