北京邮电大学601数学分析2021年考试专业课初试大纲.pdf

### 北京邮电大学601数学分析2021年考试专业课初试大纲知识点解析 #### 一、考试目的与要求 本大纲旨在评估考生对数学分析这一核心数学学科的理解程度，包括基本概念、理论以及解决实际问题的能力。通过考试，不仅考察考生是否掌握了必要的数学工具，还关注其逻辑推理、计算能力和应用所学知识解决复杂问题的能力。 #### 二、考试内容详细解析 ##### 1、实数集与函数 - **实数的概念与性质**：理解实数的基本定义及其重要性质，如有序性、可完成性。 - **绝对值与不等式**：掌握绝对值的概念及如何利用它来解决不等式问题。 - **区间与邻域**：了解区间的定义及其在实数轴上的表示方法；熟悉邻域的概念及其应用。 - **有界集与无界集**：区分有界与无界集的区别，并能判断集合是否有界。 - **确界原理**：理解确界的定义，掌握确界原理并能够运用该原理解决问题。 - **函数的基本定义与性质**：掌握函数的各种定义方式，理解函数的分类（如分段函数、有界函数等）及其特性。 - **函数的性质**：熟悉函数的单调性、奇偶性、周期性等特性，并能够根据这些特性进行函数分析。 ##### 2、数列极限 - **极限概念**：理解数列极限的基本定义，掌握极限存在的条件。 - **收敛数列的性质**：熟悉收敛数列的特性，如唯一性、有界性等。 - **数列极限的存在条件**：掌握数列极限存在的各种准则，如单调有界准则、柯西准则等。 ##### 3、函数极限 - **函数极限的概念**：理解函数极限的基本定义及其性质。 - **单侧极限**：了解单侧极限的概念及其重要性。 - **函数极限的条件**：掌握函数极限存在的不同条件，如归结原则、柯西准则等。 - **重要极限**：熟悉常见的两个重要极限及其应用。 ##### 4、函数连续 - **连续性的定义**：理解函数在某点或某区间内连续的定义。 - **连续函数的性质**：掌握连续函数的一些重要性质，如闭区间上连续函数的最值性、有界性等。 - **连续函数的类型**：熟悉不同类型的连续函数，如复合函数、反函数等的连续性。 ##### 5、导数与微分 - **导数的概念与性质**：理解导数的基本定义，掌握求导法则及其应用。 - **微分的概念与应用**：熟悉微分的定义及其在近似计算中的应用。 - **高阶导数**：理解高阶导数的意义及其在函数分析中的作用。 ##### 6、微分学基本定理 - **中值定理**：掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的表述及其证明方法。 - **不定式极限与罗比塔法则**：了解几种特殊类型的不定式极限，并掌握罗比塔法则的应用。 - **泰勒公式**：理解泰勒公式的含义及其在函数逼近中的应用。 ##### 7、导数的应用 - **函数的单调性与极值**：掌握利用导数判断函数单调性及寻找极值的方法。 - **函数的凹凸性与拐点**：熟悉函数凹凸性的定义及拐点的概念。 ##### 8、实数完备性定理及应用 - **实数的完备性**：理解实数集的完备性定理及其重要性。 - **定理的应用**：掌握实数完备性定理在证明其他重要数学结果时的应用方法。 ##### 9、不定积分 - **不定积分的概念与方法**：理解不定积分的定义，掌握换元积分法与分部积分法。 ##### 10、定积分 - **黎曼积分**：了解黎曼积分的基本定义及其计算方法。 - **可积性条件**：掌握函数可积性的必要条件和充分条件。 - **牛顿-莱布尼兹公式**：熟悉该公式的含义及其在求解定积分中的应用。 - **无穷积分**：理解无穷积分的概念及其收敛性的判断方法。 ##### 11、定积分的应用 - **面积与体积**：掌握利用定积分计算平面图形的面积、立体体积等几何问题。 - **弧长与曲率**：熟悉利用定积分求解曲线的弧长与曲率问题。 - **物理问题**：了解定积分在解决物理学问题（如功、液体压力、引力等）中的应用。 ##### 12、数项级数 - **无穷级数的概念**：理解无穷级数的基本定义。 - **级数的收敛性**：掌握级数收敛性的判定方法，如柯西准则、比较原理等。 - **特殊级数**：熟悉交错级数、绝对收敛级数等特殊类型的级数及其性质。 ##### 13、函数项级数 - **一致收敛性**：理解一致收敛的概念及其在函数列与函数项级数中的重要性。 - **一致收敛判别法**：掌握一致收敛性的各种判别方法。 ##### 14、幂级数 - **幂级数的基本概念**：了解幂级数的定义及其收敛性的判断方法。 - **幂级数的性质**：掌握幂级数的一些重要性质，如连续性、可积性等。 - **幂级数展开**：熟悉常见初等函数的幂级数展开形式。 ##### 15、傅里叶级数 - **三角函数系**：了解三角函数系的定义及其正交性质。 - **傅里叶级数**：掌握傅里叶级数的定义及其在周期函数展开中的应用。 - **傅里叶系数**：熟悉傅里叶系数的计算方法。 ##### 16、多元函数极限与连续 - **多元函数的概念**：理解多元函数的基本定义及其表示方法。 - **多元函数的极限与连续性**：掌握多元函数极限的概念及其与连续性的关系。 ##### 17、多元函数的微分学 - **偏导数**：理解偏导数的定义及其几何意义。 - **多元复合函数微分法**：掌握多元复合函数的微分法则及其应用。 - **方向导数与梯度**：熟悉方向导数的概念及梯度向量的性质。 ##### 18、隐函数定理及其应用 - **隐函数的概念**：理解隐函数的定义及其存在性条件。 - **隐函数定理的应用**：掌握隐函数定理的应用方法，如求导、求条件极值等。 ##### 19、重积分 - **重积分的概念与性质**：理解重积分的基本定义及其性质。 - **重积分的计算方法**：掌握重积分的计算方法，如换元法、累次积分等。 - **重积分的应用**：熟悉重积分在几何和物理问题中的应用，如体积、重心、转动惯量等。 ##### 20、曲线积分与曲面积分 - **第一型曲面积分**：理解第一型曲面积分的概念及其计算方法。 - **第二型曲线积分**：掌握第二型曲线积分的定义及其计算方法。 - **格林公式**：熟悉格林公式的表述及其应用。 通过以上内容的学习，考生将能够全面掌握数学分析的基础理论与方法，为后续更深入的数学学习奠定坚实的基础。