根据给定的广东财经大学2021年考研专业课初试大纲——《数学分析》的相关内容，我们可以归纳总结出以下重要知识点：
### 一、数列极限
#### 1. 数列极限概念
- 定义：若数列\(\{a_n\}\)随着\(n\)的无限增大而无限接近于某个确定的常数\(a\)，则称\(a\)为数列\(\{a_n\}\)的极限。
- 数学表达式：\(\lim_{n \to \infty}a_n = a\)。
#### 2. 收敛数列的定理
- 单调有界定理：单调递增且有上界的数列必收敛；单调递减且有下界的数列必收敛。
- 柯西准则：对于任意\(\varepsilon > 0\)，存在正整数\(N\)，使得当\(m, n > N\)时，都有\(|a_m - a_n| < \varepsilon\)，则数列收敛。
#### 3. 数列极限存在的条件
- 必要条件：如果数列\(\{a_n\}\)收敛于\(a\)，那么它满足柯西准则。
- 充分条件：若数列\(\{a_n\}\)是单调递增（或递减）并且有上界（或下界），则该数列收敛。
### 二、函数极限
#### 1. 函数极限概念
- 定义：设函数\(f(x)\)在\(x_0\)的邻域内有定义（可不包括\(x_0\)本身），如果对于任意\(\varepsilon > 0\)，存在\(\delta > 0\)，使得当\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，总有\(|f(x) - A| < \varepsilon\)成立，则称\(A\)为\(f(x)\)当\(x \to x_0\)时的极限。
- 表达式：\(\lim_{x \to x_0}f(x) = A\)。
#### 2. 函数极限的定理
- 极限唯一性：若\(\lim_{x \to x_0}f(x) = A\)且\(\lim_{x \to x_0}f(x) = B\)，则\(A = B\)。
- 极限的四则运算：若\(\lim_{x \to x_0}f(x) = A\)且\(\lim_{x \to x_0}g(x) = B\)，则\(\lim_{x \to x_0}[f(x) \pm g(x)] = A \pm B\)，\(\lim_{x \to x_0}[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B\)，\(\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\)（其中\(B \neq 0\)）。
#### 3. 两个重要极限
- \(e\)的定义：\(\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} = e\)。
- 正弦函数的极限：\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\)。
#### 4. 无穷大量与无穷小量
- 定义及性质：无穷大量是指当\(x \to x_0\)时，函数\(f(x)\)的绝对值可以无限增大；无穷小量是指当\(x \to x_0\)时，函数\(f(x)\)可以无限趋近于0。
### 三、函数的连续性
#### 1. 连续性概念
- 定义：设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处有定义，如果\(\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)\)，则称函数在点\(x_0\)处连续。
#### 2. 连续函数的性质
- 若\(f(x)\)在区间\([a, b]\)上连续，则在\([a, b]\)上有最大值和最小值。
- 介值定理：若\(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上连续，且\(f(a) \neq f(b)\)，则对任意\(c\)（满足\(f(a) < c < f(b)\)或\(f(b) < c < f(a)\)），至少存在一点\(\xi \in (a, b)\)，使得\(f(\xi) = c\)。
### 四、导数与微分
#### 1. 导数的概念
- 定义：设函数\(y = f(x)\)在某点\(x_0\)处有定义，如果极限\(\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)存在，则称此极限为函数\(f(x)\)在\(x_0\)处的导数，记作\(f'(x_0)\)。
#### 2. 求导法则
- 常见函数的求导公式。
- 导数的四则运算规则。
#### 3. 微分
- 定义及其与导数的关系。
#### 4. 高阶导数与高阶微分
- 高阶导数的概念及表示方法。
- 高阶微分的计算。
### 五、中值定理与导数应用
#### 1. 微分学基本定理
- 罗尔定理、拉格朗日中值定理等。
#### 2. 函数的单调性与极值
- 单调性的判断依据。
- 极值点的定义及其求解方法。
### 六、不定积分
#### 1. 不定积分概念与基本积分公式
- 定义：\(\int f(x)dx = F(x) + C\)，其中\(F(x)\)称为\(f(x)\)的一个原函数。
- 基本积分公式。
#### 2. 换元法积分法与分部积分法
- 换元法的基本步骤。
- 分部积分法的原理及应用。
### 七、定积分
#### 1. 定积分概念
- 定义：通过分割、近似、求极限来定义。
#### 2. 可积条件
- 需要满足的条件。
#### 3. 定积分的性质
- 加法性、线性性等。
#### 4. 定积分的计算
- 直接计算法、换元法、分部积分法等。
### 八、定积分的应用
#### 1. 平面图形的面积
- 直角坐标系下的计算方法。
#### 2. 旋转体的侧面积
- 圆柱坐标系下的计算方法。
### 九、级数
#### 1. 正项级数
- 收敛性的判断方法。
#### 2. 函数项级数
- 定义及其性质。
#### 3. 幂级数
- 展开与收敛半径。
#### 4. 傅里叶级数
- 定义及展开。
### 十、多元函数微分学
#### 1. 偏导数与全微分
- 定义及计算方法。
#### 2. 复合函数微分法
- 链式法则的应用。
#### 3. 高阶偏导数与高阶全微分
- 高阶偏导数的定义及计算。
#### 4. 泰勒公式与极值问题
- 泰勒公式的应用。
- 极值点的求解方法。
