广东财经大学高等代数2021年考研专业课初试大纲.pdf

### 广东财经大学2021年考研专业课初试大纲——《高等代数》知识点解析 #### 一、多项式 **1. 多项式的带余除法及整除性** - **概念**: 多项式是数学中的基本对象之一，由常数、变量以及它们的乘积构成，通过加法和乘法运算组成。 - **带余除法**: 给定两个多项式\(f(x)\)和\(g(x)\)，其中\(g(x)\)不为零，则存在唯一的多项式\(q(x)\)和\(r(x)\)，使得\(f(x) = g(x)q(x) + r(x)\)，且\(r(x)=0\)或\(deg(r)<deg(g)\)。 - **整除性**: 如果存在一个多项式\(q(x)\)，使得\(f(x) = g(x)q(x)\)，则称\(g(x)\)整除\(f(x)\)。 **2. 多项式的因式分解、最大公因式、互素和重因式** - **因式分解**: 将多项式表示为其因式的乘积形式。 - **最大公因式**: 两个或多于两个多项式的公共因式中次数最高的一个。 - **互素**: 两个多项式的最大公因式为常数时，称这两个多项式互素。 - **重因式**: 在多项式的因式分解中，某些因式可能重复出现。 **3. 不可约多项式的判定和性质** - **不可约多项式**: 无法进一步分解成较低次多项式的乘积。 - **判定方法**: Eisenstein判别法、模p判别法等。 - **性质**: 在某些特定的数域上，多项式是否可约直接影响到其解的存在性。 **4. 多项式函数与多项式的根** - **多项式函数**: 形如\(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\)的函数，其中\(a_i\)为系数。 - **根**: 满足\(f(x) = 0\)的值\(x\)称为\(f(x)\)的一个根。 **5. 复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式** - **复系数/实系数多项式**: 系数为复数/实数的多项式。 - **因式分解**: 对于实系数多项式，可以分解为实系数一次多项式和实系数二次不可约多项式的乘积；对于复系数多项式，可以完全分解为一次多项式的乘积。 - **有理系数多项式**: 系数为有理数的多项式。 #### 二、行列式 **1. 行列式的定义及性质** - **定义**: \(n\)阶行列式是一个由\(n^2\)个数排成\(n\)行\(n\)列的方阵的特殊数，记作\(\det(A)\)或\(|A|\)。 - **性质**: 包括交换律、分配律、行列式的性质等。 **2. 行列式按一行（列）展开** - **按行（列）展开**: 行列式可以通过按某一行（列）的元素及其代数余子式进行展开来计算。 **3. 运用行列式的性质及展开定理等计算行列式** - **计算方法**: 使用行列式的性质简化计算过程，如交换两行（列）、按行（列）展开等。 #### 三、线性方程组 **1. 线性方程组的求解和讨论** - **高斯消元法**: 通过初等行变换将线性方程组转化为阶梯形或简化阶梯形矩阵，从而求解。 - **克莱默法则**: 利用行列式求解线性方程组的一种方法。 **2. 线性方程组有解的判别定理** - **判断准则**: 通过系数矩阵的秩与增广矩阵的秩来判断线性方程组是否有解。 **3. 线性方程组解的结构及其解空间的讨论** - **解的结构**: 解集可以分为齐次解和非齐次解两部分。 - **解空间**: 线性方程组的所有解组成的集合。 #### 四、矩阵 **1. 矩阵的基本运算、矩阵的分块** - **基本运算**: 加法、数乘、乘法等。 - **分块**: 将矩阵划分成若干小矩阵进行运算。 **2. 矩阵的初等变换、初等矩阵** - **初等变换**: 通过行（列）互换、行（列）的倍数加减来改变矩阵。 - **初等矩阵**: 实现初等变换的矩阵。 **3. 矩阵的等价、合同、相正交相似** - **等价**: 两个矩阵可通过一系列初等行（列）变换相互转化。 - **合同**: 两个矩阵可通过某个可逆矩阵的左乘和右乘相互转化。 - **正交相似**: 两个矩阵可通过某个正交矩阵的相似变换相互转化。 **4. 逆矩阵、伴随矩阵及其性质；矩阵的秩，矩阵乘积的行列式与秩** - **逆矩阵**: 若矩阵\(A\)存在逆矩阵\(B\)，则\(AB=BA=E\)。 - **伴随矩阵**: 用于计算逆矩阵的一种特殊矩阵。 - **秩**: 矩阵行（列）向量组的最大线性无关数。 **5. 运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵** - **初等变换法**: 通过行（列）变换将矩阵转化为行阶梯形或简化行阶梯形，进而求得矩阵的秩及逆矩阵。 **6. 矩阵的特征值与特征向量，对角化矩阵** - **特征值与特征向量**: 若存在数\(\lambda\)及非零向量\(v\)满足\(Av=\lambda v\)，则称\(\lambda\)为矩阵\(A\)的特征值，\(v\)为对应特征向量。 - **对角化**: 特定条件下，矩阵可通过相似变换转换为对角矩阵。 #### 五、二次型 **1. 二次型及其矩阵表示** - **二次型**: 形如\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = \sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j\)的多项式，其中\(a_{ij}\)为系数。 - **矩阵表示**: 通过系数矩阵表示二次型。 **2. 二次型的标准形与合同变换** - **标准形**: 通过合同变换将二次型转换为简单形式。 - **合同变换**: 通过矩阵的左乘和右乘实现。 **3. C、R、Q 上二次型标准形与规范形** - **不同数域上的标准形与规范形**: 不同数域（复数域C、实数域R、有理数域Q）上二次型的不同表现形式。 **4. 正定二次型及其讨论** - **正定**: 二次型的值域仅包含正数时，称该二次型为正定。 - **性质**: 正定二次型具有良好的性质，如最小值存在等。 #### 六、线性空间 **1. 线性空间、子空间的定义与性质** - **线性空间**: 满足一定条件的集合，具有加法和数乘运算。 - **子空间**: 线性空间内的子集，满足闭包性。 **2. 向量组的线性相关性、极大线性无关组** - **线性相关性**: 向量组中是否存在非零系数使得向量组的线性组合为零。 - **极大线性无关组**: 向量组中线性无关的向量最多有多少个。 **3. 线性空间的基、维数、向量关于基的坐标，基变换与坐标变换** - **基**: 线性空间中一组线性无关且生成整个空间的向量组。 - **维数**: 基中向量的个数。 - **坐标**: 向量在某基下的表示方式。 - **基变换**: 基之间的转换。 - **坐标变换**: 向量在不同基下的坐标之间的转换。 **4. 生成子空间，子空间的和与直和、维数公式** - **生成子空间**: 由一组向量生成的空间。 - **子空间的和与直和**: 子空间间的关系。 - **维数公式**: 描述子空间之间关系的公式。 #### 七、线性变换 **1. 线性变换的定义、性质与运算** - **定义**: 在线性空间中保持加法和数乘运算的映射。 - **性质**: 可逆性、零变换等。 - **运算**: 加法、数乘、复合等。 **2. 线性变换的矩阵表示** - **矩阵表示**: 线性变换可以通过矩阵来表示，便于计算。 **3. 线性变换的核、值域的概念** - **核**: 线性变换下被映射为零向量的向量集合。 - **值域**: 线性变换下所有像向量组成的集合。 **4. 线性变换及其矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的概念和计算、特征子空间** - **特征多项式**: 由矩阵的特征值决定的多项式。 - **特征值与特征向量**: 见前述。 - **特征子空间**: 特征向量组成的子空间。