大连理工大学804 高等代数2021年考研专业课初试大纲.pdf

### 大连理工大学804高等代数2021年考研专业课初试大纲解析 #### 一、多项式 - **数域**: 数域是包含所有有理数的一个集合，它对于加法和乘法是封闭的，并且满足交换律、结合律以及存在单位元和逆元。 - **一元多项式**: 形如\(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\)的表达式，其中\(a_i\)为系数，\(x\)为变量。 - **多项式整除、带余除法、最大公因式、互素**: 整除是指一个多项式能被另一个多项式整除而没有余数；带余除法类似于整数除法，可以得到商和余数；最大公因式是两个或多个多项式的公共因式中次数最高的那个；互素是指两个多项式没有非零公因式。 - **多项式的不可约性**: 不可约多项式是指无法进一步分解为较低次多项式的乘积。 - **多项式的重因式和根**: 重因式指的是某个多项式可以多次出现作为因式；根是指使多项式等于零的值。 - **多项式的因式分解**: 将多项式分解成较低次多项式的乘积。 - **复系数与实系数多项式的因式分解**: 在复数域和实数域中对多项式进行因式分解。 - **有理系数多项式**: 系数为有理数的多项式。 - **多元多项式及对称多项式**: 包含多个变量的多项式；对称多项式是指变量之间可以任意交换而不改变多项式的值。 #### 二、线性方程组 - **n维向量空间**: 含有n个元素的向量构成的空间。 - **线性相关性**: 若一组向量中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合，则这组向量称为线性相关的。 - **用初等变换解线性方程组**: 通过行变换将增广矩阵化简为阶梯形矩阵来求解线性方程组。 - **线性方程组解的判断**: 根据系数矩阵的秩与增广矩阵的秩判断方程组是否有解及其解的情况。 - **齐次线性方程组的基础解系及通解的求法**: 求出齐次线性方程组的基础解系，从而确定其通解形式。 - **非齐次线性方程组解的结构及通解的求法**: 非齐次线性方程组的解由特解加上齐次方程组的通解构成。 #### 三、行列式 - **排列**: 对n个不同元素的一种排列方式。 - **n行列式的概念和性质**: 行列式是矩阵的一个标量值，具有很多重要的性质，如交换两行（列）则行列式的符号改变等。 - **行列式的计算及展开**: 通过特定规则计算行列式的值，通常采用展开的方法。 - **克拉默法则**: 用于求解线性方程组的方法之一，适用于方程个数与未知数个数相等的情形。 - **拉普拉斯定理及行列式的乘法法则**: 关于行列式分解和乘法规则的理论。 #### 四、矩阵 - **矩阵的概念及特殊矩阵**: 特殊矩阵包括单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反称矩阵和正交矩阵等。 - **矩阵的运算及运算规律**: 包括加法、乘法等运算，以及这些运算所遵循的规律。 - **伴随矩阵、可逆矩阵**: 伴随矩阵是对角线元素为对应元素的代数余子式的转置矩阵；可逆矩阵是指存在逆矩阵的矩阵。 - **初等矩阵**: 通过对单位矩阵进行初等变换得到的矩阵。 - **矩阵乘积的行列式及矩阵的秩**: 矩阵乘积的行列式等于各矩阵行列式的乘积；矩阵的秩是矩阵中线性无关行（列）的最大数目。 - **矩阵的分块**: 将大矩阵分割为小矩阵块来进行计算。 #### 五、二次型 - **二次型定义及矩阵表示**: 一个关于向量的二次函数，可以用矩阵的形式表示。 - **二次型标准形**: 通过变换得到的最简单的形式。 - **实、复二次型相关内容**: 在实数域和复数域中研究二次型。 - **正、负定二次型定义、性质、判别**: 正定二次型和负定二次型的定义及其判别方法。 #### 六、线性空间 - **线性空间的定义与性质**: 线性空间是满足加法和数乘运算封闭性的集合。 - **线性空间的同构**: 两个线性空间之间存在一一对应的线性变换。 - **线性空间的基与维数**: 基是一组线性无关的向量，维数是基中向量的数量。 - **基变换与坐标变换**: 从一个基到另一个基的变换，以及坐标的变化。 - **子空间的定义和性质**: 子空间是线性空间中的一个非空子集，它本身也是线性空间。 - **向量组线性相关性的判别**: 判断向量组是否线性相关的方法。 - **向量组的秩及极大无关组**: 向量组中线性无关向量的最大数量，以及这个最大数量的向量组成的组。 #### 七、线性变换 - **线性变换的定义及性质**: 线性变换是从一个线性空间到另一个线性空间的映射，满足线性性质。 - **线性变换的矩阵**: 通过基变换将线性变换表示为矩阵。 - **线性变换的特征值与特征向量**: 特征值和特征向量是线性变换的重要概念。 - **线性变换的值域与核**: 值域是线性变换的像集，核是变换为零的向量集合。 - **相似矩阵及对角矩阵**: 相似矩阵是指可以通过相似变换相互转换的矩阵；对角矩阵是对角线上有非零元素，其余位置均为零的矩阵。 - **不变子空间**: 在线性变换作用下保持不变的子空间。 #### 八、-矩阵 - **-矩阵定义**: -矩阵是一种特殊的矩阵类型，其定义基于某些特定的数学结构。 - **-矩阵在初等变换下的标准形**: 通过初等变换将-矩阵化为标准形式的过程。 - **-矩阵的不变因子、行列式因子及初等因子**: -矩阵的这些因子反映了-矩阵的一些基本属性。 - **矩阵若当标准形及有理标准形的求法**: 两种特殊的标准形式，分别用于描述矩阵的结构。 - **矩阵相似的条件**: 两个矩阵相似是指它们可以通过相似变换相互转换。 #### 九、欧几里得空间 - **内积、欧氏空间、单位向量、向量长度、向量夹角、向量正交、度量矩阵**: 这些都是欧几里得空间中的基本概念。 - **欧氏空间的标准正交基的相关结果和求法**: 如何找到欧几里得空间的标准正交基。 - **欧氏空间的同构**: 两个欧几里得空间之间的同构关系。 - **正交子空间与正交补**: 正交子空间是指与原空间中的所有向量正交的子空间；正交补是原空间中所有向量的正交子空间的并集。 - **实对称矩阵的特征值及特征向量的性质**: 实对称矩阵的特征值总是实数，特征向量可以正交化。 - **正交变换及对称变换及性质**: 正交变换和对称变换的定义及其性质。 - **最小二乘法**: 一种用于寻找最佳拟合直线或其他模型参数的方法。 #### 十、双线性函数 - **线性函数，双线性函数的概念及性质**: 双线性函数是在两个向量上的线性函数。 - **对偶空间相关的概念和性质**: 对偶空间是指原空间所有线性泛函的集合。 - **对偶基的定义**: 与原空间基相对应的对偶基的定义。 - **双线性函数非退化的判别**: 判别双线性函数是否非退化的方法。 - **度量阵的定义及性质**: 度量阵是与双线性函数相关的矩阵。 - **对称及反对称双线性函数的概念及性质**: 对称双线性函数和反对称双线性函数的定义及其性质。 - **辛空间**: 一种特殊的向量空间，配备有一个反对称双线性函数。 该考研大纲覆盖了高等代数的主要内容，包括多项式、线性方程组、行列式、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、-矩阵、欧几里得空间以及双线性函数等核心概念和技术。对于准备参加大连理工大学高等代数考研的学生来说，理解和掌握这些知识点至关重要。