【运输问题】是运筹学领域的一个经典问题，主要研究如何在多个产地和销地之间调配资源以最小化运输成本。在物流、供应链管理和生产计划等领域有着广泛应用。运输问题可以通过数学模型来表述，并通过特定算法求解。
一、运输问题及其数学模型
运输问题涉及到 m 个供应地和 n 个需求地，每个供应地有确定的供应量 ai，每个需求地有确定的需求量 bi。从供应地 Ai 运输到需求地 Bj 的单位成本是 cij。目标是最小化总运输成本。数学模型可以表示为线性规划问题：
目标函数：\( \min \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{ij} x_{ij} \)
约束条件：供应平衡约束：\( \sum_{j=1}^{n} x_{ij} = a_i \)（供应地 i 的总运输量等于其供应量）
需求平衡约束：\( \sum_{i=1}^{n} x_{ij} = b_j \)（需求地 j 的总接收量等于其需求量）
非负约束：\( x_{ij} \geq 0 \)（运输量非负）
二、表上作业法
表上作业法是一种解决运输问题的有效方法，它包括以下步骤：
1. 初始化：根据某种规则（如最小元素法、最小成本法）建立初始调运方案。
2. 最优性检验：检查当前解是否满足最优性，即没有其他单元格可以降低成本而不违反约束。
3. 调整：如果当前解非最优，找到一个改进方向（如最小化空格与改进格之间的差值），调整运输量。
4. 重复：继续进行最优性检验和调整，直到找到最优解。
运输问题的解决方案通常以表格形式呈现，表格中的每个单元格代表供应地到需求地的运输量。当满足所有约束并达到最优时，表中的数字表示实际运输量，而空格则表示未使用的产能或需求。
三、运输问题的进一步讨论
运输问题的解具有以下特性：
1. 存在有限最优解：因为有下界且不会趋向负无穷。
2. 系数矩阵特性：约束条件的系数矩阵由0和1组成，每列有两个非零元素。
3. 供需平衡：总供应量等于总需求量，秩(A) = m + n - 1。
4. 解的性质：解中非零变量数量不超过(m+n-1)，基变量保持不变。
运输问题的解可以通过单纯形法求解，但考虑到变量数量多，通常采用表上作业法更为高效。实际应用中，运输问题的解对于优化物流网络、降低运输成本、提高供应链效率至关重要。
