【线性规划与运输问题】
线性规划是运筹学中的基本方法，用于解决在满足一组线性约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数的问题。运输问题作为线性规划的一个具体应用，通常涉及在多个供应点和需求点之间合理分配资源，以达到最低成本或最高收益。
在运输问题中，对偶理论提供了另一种理解问题的角度。对偶解的经济含义是，当其他条件不变时，单位资源变化引起的目标函数最优值的变化，这一变化被称为“影子价格”。影子价格反映了资源的边际价值，它在实际经济决策中有着重要的意义，因为可以帮助决策者了解资源的稀缺性和优化配置。
对偶问题的经济解释进一步阐述了影子价格的概念。例如，在第六节提到的对偶单纯形法中，原问题的单纯形表的检验数行对应对偶问题的一个基解。基变量BX的剩余变量表示对供应的调整，而非基变量NX的剩余变量则表示对需求的调整。通过迭代，即使初始解是非可行解，也能逐步达到基可行解，从而找到最优解。
对偶单纯形法相较于原始单纯形法有其独特优势，比如初始解可以是非可行解，并且在某些情况下可以减少计算量。其主要步骤包括：
1. 找到对偶问题的可行基并构建单纯形表。
2. 如果b列的所有元素都是非负，且检验数为非正，说明已经找到最优解；否则，进入下一步。
3. 确定换出变量，通常是检验数最小的基变量。
4. 确定换入变量，选择使检验数保持非正的非基变量。
5. 以选定的主元素进行迭代运算，更新单纯形表，重复以上步骤直至找到最优解。
第七节的灵敏度分析探讨了当线性规划问题中的参数如资源向量b、价值向量c或约束系数矩阵A发生变化时，最优解的稳定性和变化范围。在实际应用中，这些参数往往是估算或预测值，可能会随着市场、技术或决策变化。传统的处理方式是直接用新参数重新运行单纯形法，但这种方法计算量大。灵敏度分析提供了一种更有效的方法，通过分析当前基B，计算决策变量的检验数和基矩阵的逆矩阵，来预测参数变化的影响，减少了不必要的计算。
以工厂生产优化为例，生产甲、乙两种产品的工厂需要在有限的设备时间和原材料下，最大化利润。线性规划可以用来建立模型，其中约束条件包括设备时间和原材料限制，目标函数是总利润。通过求解这个模型，工厂可以得知每种产品的最佳生产量，以实现利润最大化。同时，利用灵敏度分析，工厂可以评估原料价格、市场需求或生产效率变动对利润的影响，以便做出灵活的生产计划调整。
