【运输问题】是运筹学中的一个重要模型，用于解决资源分配和物流规划等问题。在实际生活中，例如上述案例，一个地区有两个产棉区A1、A2需要向三个纺织厂B1、B2、B3供应棉花，目标是确定最优运输方案以最小化总运费。运输问题通常涉及到多个供应源和需求点，且每个源和点都有一定的产能或需求量，以及相应的单位运输成本。
**运输问题的数学模型**可以表示为线性规划问题。对于案例中的运输问题，设有两个产地A1、A2和三个销地B1、B2、B3，变量xij表示由Ai运往Bj的棉花量（kt）。根据供需平衡原则，每个产地的出货量之和等于其产量，每个销地的进货量之和等于其需求量。总目标是最小化总运费，即所有xij乘以相应单位运价的和。
具体数学模型如下：
\[ \text{minimize} \quad z = 5x_{11} + 8x_{11} + 6x_{13} + 4x_{21} + 3x_{22} + 8x_{23} \]
\[ \text{subject to} \]
\[ x_{11} + x_{12} + x_{13} = 70 \]
\[ x_{21} + x_{22} + x_{23} = 50 \]
\[ x_{11} + x_{21} = 50 \]
\[ x_{12} + x_{22} = 40 \]
\[ x_{13} + x_{23} = 30 \]
\[ x_{ij} \geq 0 \quad (i=1,2; j=1,2,3) \]
这个模型适用于平衡的运输问题，即供需总量相等。当供需不平衡时，需要进行调整，例如引入虚拟产地或销地以达到平衡状态，然后求解。
**运输问题的一般数学模型**可以扩展为：
\[ \text{minimize} \quad z = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{ij}x_{ij} \]
\[ \text{subject to} \]
\[ \sum_{j=1}^{n} x_{ij} = a_i \quad (i=1,2,\ldots,m) \]
\[ \sum_{i=1}^{m} x_{ij} = b_j \quad (j=1,2,\ldots,n) \]
\[ x_{ij} \geq 0 \quad (i=1,2,\ldots,m; j=1,2,\ldots,n) \]
其中，m个产地的总产量为\(\sum a_i\)，n个销地的总需求量为\(\sum b_j\)，\(c_{ij}\)是产地i到销地j的单位运输成本。
**表上作业法**是一种解决运输问题的有效方法，它通过建立一个二维表格来直观表示问题，并通过一系列操作寻找最优解。主要包括以下步骤：
1. **模型的矩阵表述**：将运输问题转化为矩阵形式，便于计算。
2. **确定初始基可行解**：找到一组满足约束条件的非负解作为初始解。
3. **最优解的判别**：检查当前解是否满足最优性条件，如没有负检验数，则为最优解；否则继续优化。
4. **闭回路调整法**：通过闭回路调整，修改运输量以降低总费用，直到达到最优解。
运输问题是运筹学中的经典模型，通过构建数学模型和应用表上作业法等方法，可以有效地解决实际生产中的资源配置问题，以最小化成本或最大化效益。理解并掌握运输问题及其求解方法，对于物流、供应链管理和资源分配等领域具有重要意义。
