双退化半线性抛物型方程是一种数学方程，它是抛物型偏微分方程的一种特殊形式，具有重要的数学理论研究价值和广泛的应用背景。在自然科学领域，尤其是在物理学和工程技术中，这类方程常常被用来描述热传导、扩散过程以及其他各种现象。在实际应用中，研究这类方程的解及其性质对于预测和控制相关过程具有重要意义。
所谓“双退化”，是指在方程中某些系数或函数在一定的条件下会趋近于零，使得方程在某些区域内丧失了标准抛物型方程的特征，例如：导数项可能退化。在这种情况下，方程的解可能会呈现出与其他非退化情况非常不同的性质，比如解可能会在有限的时间内发生爆破现象，也就是说解的某些量会增长到无穷大。
半线性抛物型方程是在线性方程的基础上，增加了一些非线性项。非线性项的引入使得方程更加复杂，解的行为也更加多样和难以预料。本文中的方程引入了非局部源项，非局部源意味着方程中的源项不仅依赖于空间中的点，而且可能依赖于整个空间域上的积分或其它形式的非局部作用。这种类型的项经常出现在具有长距离相互作用的物理模型中，如生物种群动力学模型等。
在数学领域，研究者们对这类方程的初边值问题特别感兴趣。初边值问题是指，在给定初始条件和边界条件下，研究方程解的存在性、唯一性和性质。对于双退化半线性抛物型方程，能否证明局部解的存在和唯一性是一个基本问题，对于理解方程的全局性质至关重要。本文通过数学分析和理论推导，成功证明了在一定的初值条件下，方程的局部解不仅存在而且是唯一的。
然而，对于非线性抛物型方程而言，一个更为引人注目的问题则是解的爆破行为，即在一定条件下，解会在有限的时间内达到无穷大。爆破现象通常反映了某种不稳定性的存在。在本文中，作者研究了特定的初值问题，并发现当初始值足够大时，解会沿着整个区间[0,a]在有限时间内发生爆破。这意味着，对于某些初始条件，方程的解将无法保持有限状态，而是会发散。这一发现对于理解方程解的动态行为至关重要，也为相关领域的科学家提供了重要的理论基础。
此外，确定解的爆破点集对于深入了解方程的性质也是非常重要的。在本文中，作者通过数学分析确定了爆破点集为整个区间[0,a]，这个结果揭示了在给定的初始条件下，解的不稳定现象在整个研究区间内都是普遍存在的。
本文通过理论证明了双退化半线性抛物型方程在某些初值条件下局部解的存在唯一性，并且展示了在初始值较大时解在有限时间内爆破的性质，以及爆破点集覆盖了整个研究区间。这些发现不仅对数学理论研究有深刻的意义，也对物理学、化学、生物学等自然科学领域的研究提供了重要的参考价值。
