本文研究了带有局部点源和非局部边界条件的抛物方程的解的爆破模式。抛物方程广泛应用于物理、生物、工程等领域，是描述自然界中诸多扩散和传导现象的基本数学模型。局部点源通常代表着模型中某些特定位置的源效应，而非局部边界条件则是考虑了边界效应的整体性质。本文的核心内容在于探讨这两种特殊条件对方程解的稳定性和爆破性质的影响。
文章定义了研究对象的数学模型，具体为具有局部点源和非局部边界条件的抛物方程形式如下：
u_t = Δu + au^p u_q(x0, t)，
u(x, t) = ∫_Ω f(x, y) u(y, t) dy, (x, t) ∈ ∂Ω×(0, T)
其中，p和q是方程中幂律非线性项的指数，a为正常数，x0 ∈ Ω为固定点，Ω是具有光滑边界的有界区域，f(x, y)为定义在Ω×Ω上的非负连续函数，u0(x)是非负连续函数且满足紧性条件。
研究表明，在一定条件下，方程的解会呈现出爆破模式。爆破指的是方程的解在有限时间内变得无限大，这在物理模型中可能对应于某些极端现象的发生，如化学反应中的热爆炸或者人口动力学中的人口失控增长。文章在已有的研究基础上，进一步探索了局部点源和非局部边界条件如何影响这种爆破行为，给出了爆破解的爆破速率估计，并在一定条件下证明了解的爆破模式。
文章还提到，这类抛物方程的解的爆破性质，已经吸引了许多学者的关注，并且有大量文献讨论了在齐次Dirichlet边界条件下的退化抛物方程的爆破性质。此外，近年来还有许多研究关注了非局部边界条件对解的爆破性质的影响。在这些研究中，有的学者分析了具有非局部边界条件的抛物方程解的整体存在性和爆破条件，有的给出了爆破解的爆破速率估计。
具体地，文章在引理和定理中讨论了解的爆破速率估计，即在解即将爆破时，解的最大值随时间变化的速率。例如，在满足某些条件下，解的最大值在时间接近爆破点时，其增长速度可以被估计为关于时间T-t的某个幂函数。同时，文章也讨论了不同的p和q值对方程解的爆破性质的影响。例如，当p小于1时，解可能会表现出不同的爆破模式。
文章作者黄臣程和杜清岭，主要介绍了他们的研究背景，黄臣程主要研究方向是偏微分方程。文章得到了国家自然科学基金的资助，这表明该研究受到科研项目的支持和认可。
总体而言，本文的研究为理解和预测某些物理现象中的极端行为提供了数学工具和理论基础，对相关领域如人口动力学、流体力学等的研究具有重要的科学意义。同时，该研究结果在工程技术和环境科学领域也有广泛的应用前景，如在环境工程中预测污染物的扩散和影响范围，在工程技术中对材料退化和系统失效的评估。
