不定方程，是指未知数在方程中既可取整数值也可取非整数值的方程，通常情况下，研究的焦点在于整数解。本文所讨论的不定方程形式为x^3 + 1 = 129y^2，这类方程属于代数方程的一种，其中x和y为整数，129则是方程系数。这类方程的研究有重要意义，因为在数论、密码学、编码理论等多个领域中都可能涉及到不定方程的整数解问题。
递归数列，在数学中指的是每一个数（或元）都是由前一个或前几个数经过一定的规则计算出来的序列。在解不定方程的过程中，递归数列常常被用来构造可能的整数解或者证明整数解不存在。
同余式，数学中的一个概念，指两个整数除以某个整数后所得到的余数相等。同余的概念在解决不定方程的问题时非常重要，尤其在模运算和密码学中有着广泛应用。例如，费马小定理和欧拉定理都涉及到同余的概念。
平方剩余，是数论中的一个概念，指的是对于给定的正整数m，存在某个整数x使得x的平方除以m的余数为某个特定数（比如1）。平方剩余的概念有助于判断整数是否可以表示为某个数的平方数。
Pell方程是形如x^2 - Dy^2 = 1的二次不定方程，其中D是一个非平方数且不等于1。Pell方程的研究有助于解决更复杂的不定方程问题，因为它涉及到了数字的有理数和整数解。对于Pell方程的解法，通常涉及到连分数的方法，以找到方程的一组基础解，进而求得所有解。
在文章中提到的Jacobian符号，是数论中的一个概念，用于模m运算时判断一个数是否为模m的二次剩余。它可以帮助我们判定一个整数是否能被另一个整数整除，对解决整数分解问题有重要作用。
文章中提到的引理和定理，是进行证明和推导的基础。引理通常是为证明主要定理而提出的一些辅助性质或关系。定理则是对某个数学问题作出的正式陈述，通常需要通过严格的数学推导来证明。
文章证明了不定方程x^3 + 1 = 129y^2仅有两组整数解：（x, y）=（-1, 0）和（x, y）=（80, ±63）。这一发现解决了这个特定的方程问题，但更重要的是，通过这种方法解决这类问题的思路和技巧，为其他类似的不定方程问题提供了宝贵的参考。
上述讨论的不定方程x^3 + 1 = 129y^2属于不定方程中的Diophantine方程，这种方程的研究是数学中的一个古老而又活跃的领域。通过本文的解析和证明过程，可以看出，即便是较简单的不定方程，其求解过程也涉及较深的数学理论和方法。通过逐个分析各种可能的解的形式，最终得出结论。
文章中提到的方程分类号和关键词，如不定方程、整数解、递归数列、Pell方程、Jacobian符号，都是数学研究者在进行相关问题探讨时可能会使用到的术语和工具。这些词汇的准确理解有助于深入探讨和掌握文章的核心内容。
文章中提及的引理和定理的编号，例如引理1、引理2、定理1等，是在形式化的数学文本中常见的引用方式，便于在阅读和讨论数学论文时，对特定结论的快速引用和查证。
