170204180_10_概率统计2014秋第9周作业1
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2022-08-03
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第九周作业
1. 设随机变量
i
X
（
ni ,,1
）独立同分布（这样的序列称为来自同一分布的样
本），其公共期望为
，公共方差为
2
，
n
i
i
X
n
X
1
1
称为样本均值.
（1） 证明：
0),(Cov XXX
i
.
（2）
XX
i
与
X
是否一定独立？尝试给出理由.
2. 下列叙述是否等价？请说明理由.
(1)
0),(Cov
YX
；
(2)
X
与
Y
不相关；
(3)
)()()(
YEXEXYE
；
(4)
)()()(
YVarXVarYXVar
3. 应用中常常基于随机变量
X
的观察值对随机变量
Y
的值进行预测，假设仅仅
知道
X
和
Y
的期望分别为
1
和
2
，方差分别为
2
1
和
2
2
，相关系数为
.
（1） 在均方 误差 意义 下求
Y
的 最优线 性预 测， 即选 择系数
ba,
使得
]))([(
2
baXYE
（均方误差）达到极小值.
（2） 给出这个最优线性预测对应的均方误差，并指出其值何时接近 0.
（3） 验证：若
YX,
服从
),,,,(
2
2
2
121
N
,则
Y
的最优线性预测就是
)|( XYE
.
4. 某保险公司向 10000 个投保人提供内容相同的汽车保险，假定这 10000 个投保
人在一年内由于发生交通事故而造成的损失是独立同分布的，且一辆车在一年
内发生事故的概率为 0.001，事故损失为 1000 元.
（1） 如果忽略运营成本，保险公司每份保险卖 2 元合理吗？
（2） 保险公司至少有 20%的毛利润（毛利润=保费-保险赔付-运营成本（忽
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