第 3 次作业
1. 给出 5 个不同的随机变量的例子，并指明随机变量的类型和相关的样本空间。
2. **已知
)()( xXPxF
是随机变量
X
的分布函数。
（1） 证明：
0)(lim
xF
x
，
1)(lim
xF
x
。
（2） 证明：
)(
xF
右连续。
（3） 求
)( bXaP
。
3. 设样本空间
},,{
321
，
)()()(
321
PPP
，定义
YX,
如下：
3)(,2)(,1)(
321
XXX
，
1)(,3)(,2)(
321
YYY
。
（1） 试证明
YX,
这两个随机变量分布相同；
（2） 求
YX
，
XY
的概率分布。
4. *已知
X
为离散型随机变量，证明：
)()()(Var
22
XEXEX
；你中学学到的方差是
否与课上的定义相一致？请简要说明理由。
5. 假设袋中有
a
个黑球，
b
个白球。每次取出一个球，取到白球则停止，记
X
为此时已取
出球的个数。
（1） 每次取球后不放回，求
X
的分布；
（2） 每次取球后放回，求
X
的分布和期望。
6. 是否存在离散随机变量
YX,
，满足
)(100)( YEXE
，但
Y
以至少
99.0
的概率大于
X
？（需说明理由）
7. 假设一个 Bernoulli 试验成功的概率为
)1,0(p
，不断独立地重复该试验，令
X
表示
出现第一次试验成功所需要的试验次数。
（1） 求
X
的分布。
（2） 求
X
的期望和方差。
8. 某项调查表明，60%的消费者曾通过某电商平台购买商品。假定随机抽取 25 名消费者，
并对他们的购买习惯进行调查。
（1） 至少 15 名消费者曾通过该电商平台购买商品的概率是多少？
（2） 大于 20 名消费者曾通过该电商平台购买商品的概率是多少？
（3） 不足 10 名消费者曾通过该电商平台购买商品的概率是多少？
9. 利用定义计算二项分布
),( pnB
的期望与方差。
10. 掷 6 颗均匀骰子，求恰有两个一点出现的概率及其 Poisson 近似值（保留小数点后 4 位）。
11. 每天约有一百万人自主决定是否访问某学会网站，访问的概率为
6
102
p
，求在某
特定的一天中至少有 3 人访问该网站的概率及其 Poisson 近似（结果保留 4 位小数）。
12. *一只昆虫产卵概率服从参数为
的 Poisson 分布，而虫卵能发育成虫的概率为
p
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