复球面上的几何性质1
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2022-08-03
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复球面上的几何性质
摘要 ：本文通过测地投影法，建立了复平面与球面上的点的一一对应关系。
从而复平面上的点可以在一个三维球面上被表示出， 称为复数的球面几何表示。
通过这样的一个一一映射，我们可以研究平面上的复数和复平面在有限三维空
间上的性质，接着再探讨复球面与扩充复平面之间的对应关系。
关键词： 复平面；复球面；对应关系
中图分类号： O174.51
引言
公元七世纪前，欧几里得（ Euclid ）精心整理了古希腊推理几何学，创造性
的完成了《几何原本》这本数学巨著。 1868 年，德国数学家黎曼（ Riemann）从
另一角度否定欧几里得第五公设（平行性公设） ，黎氏几何公理体系与欧氏几何
公理体系除平行公理截然不同外， 其它公理也有异同之处。 我们把通常的球面作
为平面，球面上对径点（球面直径的两端点）视为一个点，球面上的大圆作为直
线，便得到黎氏几何的一个模型， 称为黎氏半球面模型。 球面几何属于黎世几何，
其有着广泛的应用。 例如，卫星定位、 大地 ( 天体 ) 测量和航空卫星定位等都需要
利用有关于球面几何的知识。 在基础理论上， 球面几何与欧氏几何是不同的几何
模型，它是一个非常重要且实用的非欧几何的数学模型。 在几何学的理论研究方
面球面几何有着特殊的重要作用和意义。 我们通过比较欧氏平面几何与球面几何
的差异和联系，应用和感受科学中存在的丰富多彩的教学模型。
我们可以在坐标系中用一个点表示一对有序实数。 通过复变函数的学习， 可
知坐标系中的一个点可以与一个复数一一对应。 因此我们可以在坐标系中将全体
复数构成的集合进行表示， 则会形成一个复平面， 每一个复数在复平面上都有一
个唯一对应的点。 通过有关的学习和书籍的说明， 可以知道扩充复平面与复球面
之间可以建立一一对应的关系。 本文致力于研究扩充复平面和复球面之间的位置
关系，讨论其对应表达式及研究对应关系， 在理论上得以证明其建立的关系。 对
于复数和复平面在复球面上的性质， 从而构造出一个新的一一映射， 在一个三维
球面上复平面的点可以被表示出来，这样我们可以称其为复数的球面几何表示。
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