线性系统理论作业
题目： 三级倒立摆的仿真
学 生： xxx
学 号： 1406xxx
院 （系）： 电信学院
专 业： 控制理论与控制工程
指导教师： xxx
2014 年 12 月 15 日
三级倒立摆的 matlab 仿真
双控 1406xxx xxx
摘 要
倒立摆是智能控制的理想对象。使用拉格朗日方程建立三级倒立摆系统的非线性数学
模型，在平衡点处对其线性化，利用 最优控制理论，导出
控制规律。通过对三级倒立摆一系列稳定摆动和加扰实验仿真曲线的分析，明确了加权矩
阵 中各权系数对系统稳定性控制的重要性，由此来优化权系数的选择。实验表明，系统
显示出较好的鲁棒性和动态性能。
关键词三级倒立摆系统 理论最优控制权矩阵
Research on LQR Control Algorithm of the treeble
Inverted Pendulum System
Abstract
!
"，# !$
"%" &""#
#$'
"!$(
$'$#
$('$"
!""
)"$"*+"
$'
倒立摆系统是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强藕合系统，只有
采取行之有效的控制方法才能使之稳定由于倒立摆系统能够表征或近似反映许
多实际系统问题，如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪
问题等，因此，它经常用来作为研究和检验各种控制方法的有效性以及发展控
制理论与方法的有力工具。近年来，倒立摆的理论和应用研究已经获得了重要
的突破和成果。
本文首先对三级倒立摆数学模型进行分析，给出了一个倒立摆系统的结构
参数，并在平衡点处对其线性化采用二次型最优控制，找出最优控制规律。通
过仿真实验，明确了各权系数对倒立摆稳定影响的相对重要程度，由此来优化
加权矩阵 参数的选择，进而得出倒立摆 控制方法中加权矩阵选取的初步
规律。
1 三级倒立摆的数学模型
1. 1 三级倒立摆的非线性系统数学模型:
M (θ
1
，θ
2
，θ
3
)
|
¨r
¨
θ
1
¨
θ
2
¨
θ
3
|
,-
(θ
1
，θ
2
，θ
3
,
˙
θ
1
，
˙
θ
2
，
˙
θ
3
)
|
˙r
˙
θ
1
˙
θ
2
˙
θ
3
|
.
|
G
0
u
K
1
gsinθ
1
K
2
gsinθ
2
M
3
g l
3
sin θ
3
|
/0%
式中，
M
(
θ
1
，θ
2
，θ
3
)
=
[
K
0
K
1
cos θ
1
K
2
cos θ
2
M
3
l
3
cos θ
3
K
1
cos θ
1
K
3
¿ ¿
K
2
L
1
cos ( θ
¿
¿2−θ
1
)¿ K
4
¿
M
2
L
1
l
3
cos( θ
¿
¿3−θ
2
)¿ M
3
l
3
cos θ
3
¿
M
3
L
1
l
3
cos(θ
¿
¿3−θ
2
)¿ M
3
L
2
l
3
cos (θ
¿
¿3−θ
2
)¿ J
3
+M
3
l
3
2
¿
]
F
(
θ
1
，θ
2
，θ
3
˙
, θ
1
，
˙
θ
2
，
˙
θ
3
)
.
[
F
0
−K
1
cos θ
1
−K
2
cos θ
2
˙
θ
3
−M
3
l
3
cos θ
3
˙
θ
3
0 F
1
+F
2
¿ ¿
K
2
L
1
cos (θ
¿
¿2−θ
1
)
˙
θ
1
−F
2
¿F
2
+F
3
¿
−M
2
L
1
l
3
cos(θ
¿
¿3−θ
2
)
˙
θ
3
−F
3
¿0
¿
M
3
L
1
l
3
cos(θ
¿
¿3−θ
2
)
˙
θ
1
¿M
3
L
2
l
3
cos(θ
¿
¿3−θ
2
)
˙
θ
3
−F
3
¿F
3
¿
]
式中
K
0
=M
0
+M
1
+ M
2
+M
3
；
K
1
=M
1
l
1
+M
2
L
1
+M
3
L
1
；
K
2
=M
2
l
2
+M
3
L
2
；
K
3
=J
1
+M
1
l
1
2
+M
2
L
1
2
+M
3
L
1
2
；
K
4
=J
2
+M
2
l
2
2
+ M
3
L
2
2
；
1
˙
r
1
¨
r
1
θ
1
,
˙
θ
1
，
¨
θ
1
,θ
2
，
˙
θ
2
,
¨
θ
2
，θ
3
，
˙
θ
3
,
¨
θ
3
分别为小车的位置、速度、加速度，下摆、
摆和上摆与铅垂线的角度、角速度和角加速度 为施加给小车的力其余参数参见系统实验
参数。
1. 2 系统实验参数
某公司生产直线三级倒立摆模型的结构参数如表 0 所示
1. 3 系统数学模型的线性化
将/0%式作适当形式变换，并将系统在平衡点
θ
1
=θ
2
¿θ
3
¿0 ，
˙
θ
1
¿
˙
θ
2
¿
˙
θ
3
=0
处线性化，
可得三级倒立摆的状态方程和输出方程形式如下
2!32,&
4!2,5 （6）
式中，
