人教版高中数学必修四第三章 三角恒等变换作业题及答案解析83精选.docx

【知识点详解】 1. **二倍角公式**：在三角函数中，二倍角公式是基本的恒等变换工具，用于简化三角表达式。这里提到的三个公式是： - 正弦的二倍角公式：`sin 2α = 2sin αcos α` - 余弦的二倍角公式：`cos 2α = cos^2α - sin^2α = 2cos^2α - 1 = 1 - 2sin^2α` - 正切的二倍角公式：`tan 2α = 2tan α / (1 - tan^2α)` 2. **二倍角公式的变形**： - `sin 2α / 2sin α = cos α` - `sin 2α / 2cos α = sin α` - `(sin α ± cos α)^2 = sin^2α + cos^2α ± 2sin αcos α = 1 ± sin 2α` - `sin^2α = (1 - cos 2α) / 2` - `cos^2α = (1 + cos 2α) / 2` 3. **选择题解题**： - 第1题：利用`cos 2α = 1 - 2sin^2α`，可以得到`1 - 2sin^222.5° = cos45° = 1/√2`，所以答案是B。 - 第2题：函数`y = 2cos^2(x - π/4) - 1`可化简为`y = cos(2x - π/2)`，即`y = sin2x`，周期为π/2，偶函数，答案是D。 - 第3题：由`sin(π/6 - α) = 1/3`，可得`cos(π/3 + 2α) = 1 - 2sin^2(π/6 - α)`，代入求值，答案是B。 - 第4题：由`1 - tan θ/2 + tan θ = 1`可得`tan θ/2 = 1/2`，然后用二倍角公式求`cos 2θ`和`sin 2θ`，答案是A。 - 第5题：因为`|cos θ| = 1/5`，`θ`在第二象限，所以`cos θ = -1/5`，进而求`sin θ/2`，答案是C。 - 第6题：根据`cos α`和`α`的象限，求出`sin α`，再求`cos 2α`和`sin 2α`，最后解题，答案是C。 4. **填空题解答**： - 第7题：需要将给定角度转换为同名三角函数，然后利用二倍角公式求解。 - 第8题：利用三角恒等变换找到函数最大值。 - 第9题：利用`tan θ/2`的关系求解。 - 第10题：利用正弦的二倍角公式和平方关系求解`α`的值。 5. **解答题证明与求值**： - 第11题：通过构造等式，利用二倍角公式逐步证明。 - 第12题：根据给定的条件，先求出`sin (π/2 - x)`，然后利用诱导公式和二倍角公式求解。 - 第13题：利用二倍角余弦公式求解。 - 第14题：结合正切的倍角公式和辅助角公式求解。 6. **知识点拓展**： - 二倍角公式的广义理解，不仅局限于整数倍角，也适用于分数倍角。 - 二倍角余弦公式的形式多样性，例如在不同场合下使用不同的形式可以简化计算。 7. **注意事项**： - 二倍角公式通常用于化简复杂的三角表达式，使得问题更易于解决。 - 在使用二倍角公式时，要注意角的位置，判断正弦、余弦、正切的正负。 - 解题时应灵活运用三角函数的性质和公式，如互补角、同名三角函数之间的关系等。 这些知识点是人教版高中数学必修四第三章三角恒等变换中的核心内容，通过练习题和答案解析，学生可以巩固和熟练掌握二倍角公式的应用。