人教版高中数学必修四第三章 三角恒等变换作业题及答案解析84精选.docx

【知识点详解】 1. **半角公式**：半角公式是三角函数中非常重要的恒等变换，用于将角度α的一半表示为与α相关的三角函数。对于任意角α，其半角公式为： - 正弦半角公式：sin α/2 = ±√((1 - cos α)/2) - 余弦半角公式：cos α/2 = ±√((1 + cos α)/2) - 正切半角公式：tan α/2 = ±(1 - cos α)/(1 + cos α) = ±sin α/(1 + cos α) = ±(1 - cos α)/sin α 其中，符号“±”取决于α/2所在的象限。 2. **辅助角公式**：辅助角公式用于将一个三角函数的和或差转换为单个正弦或余弦函数。形式为：asin x + bcos x = √(a² + b²)sin(x + φ)，其中φ满足tan φ = b/a。辅助角φ的象限由a和b的符号决定，同时cos φ和sin φ可以通过a和b的比值得出。 3. **选择题解析**： - 第1题：根据半角公式，cos α/2 = ±√((1 + cos α)/2)，因为180°<α<360°，所以cos α/2 = -√((1 + cos α)/2)，选项C正确。 - 第2题：y=sin(x+π/3) + sin(x-π/3) = 2sin(x)cos(π/3) = sin(x)，最大值为1，选B。 - 第3题：f(x) = sin x - cos x = √2sin(x - π/4)，在[0, π/2]上，最小值为-√2，选C。 - 第4题：f(x) = sin(2x + θ) + 3cos(2x + θ)为奇函数，要求θ使得f(-x) = -f(x)，推导得θ = π/2，选C。 - 第5题：f(x) = sin x - 3cos x = 2sin(x - π/3)，在[π, 0]上单调递增，选A。 - 第6题：由cos α = -4/5，α在第三象限，可得tan α/2 = ±(1 - cos α)/(1 + cos α)，计算得1+tan α/2 / (1-tan α/2) = -1/2，选A。 4. **填空题**： - 第7题：f(x) = sin(2x - π/4) - 2sin²x = 2cos(2x + π/4)，最小正周期为π。 - 第8题：底角余弦值为2/3，设顶角为α，则sin α = √(1 - cos²α) = √(1 - 4/9) = √5/3。 - 第9题：顶角余弦值为4/5，设底角为β，则tan β = ±√(1 - cos²β) = ±√(1 - 16/25) = ±3/4。 - 第10题：利用赵爽弦图，设小正方形边长为1，则大正方形边长为5，设直角三角形的斜边为c，较小的锐角为θ，则cos 2θ = (1 - tan²θ) / (1 + tan²θ) = (1 - 1/3) / (1 + 1/3) = 1/2。 5. **解答题**： - 第11题：(1)最小正周期为T = 2π/2 = π；(2)最大值在2x - π/6 = π/2 + 2kπ时取得，即x = π/3 + kπ，k ∈ Z。 - 第12题：向量模的平方等于各分量平方和，求得cos θ = -3/5，sin θ = -4/5，利用向量加法，|m+n|² = m² + n² + 2m·n，求得cos(θ/2 + π/8) = √(1/2 + cos θ/2 * sin θ/2)。 6. **能力提升**： - 第13题：当2cos x - 3sin x取最大值时，tan x = 3/2。 - 第14题：使用和角公式，f(x) = 3sin(x + 20°) + 5sin(x + 80°) = 4sin(x + 50°) + sin(x)，求最大值需考虑相位差，具体计算略。 在学习三角恒等变换时，理解公式背后的几何意义和推导过程至关重要。通过辅助角公式，可以将复杂的三角函数转换为更简单的形式，便于解决各种数学问题。同时，掌握特殊角的三角函数值和基本三角恒等式，能有效提高解题效率。在解题时，应灵活运用这些知识，不断实践以加深理解。