《线性代数：初阶研究生应知》一书由乔纳森·S·戈兰撰写，第二版出版于2007年，是为初阶研究生深入理解线性代数设计的一本全面指南。本书涵盖了线性代数的基础概念到高级理论，旨在帮助读者建立坚实的数学基础，为更深层次的数学研究以及物理、社会科学和工程学等领域的应用奠定基石。
### 核心知识点
#### 1. **符号与术语**
线性代数涉及众多专业术语与符号，本书第一章就这些基本概念进行了详尽的介绍，确保读者能够理解后续章节中出现的专业词汇。
#### 2. **域（Fields）**
域是线性代数的基本结构之一，它是一类特殊的代数系统，具备加法、减法、乘法和除法运算。在第二章中，作者介绍了域的概念、性质及其在线性代数中的作用，如复数域、实数域等。
#### 3. **向量空间**
第三章深入探讨了向量空间，即一组向量组成的集合，在满足特定运算规则下形成的空间。这里不仅定义了向量空间，还讲解了子空间、生成集、基、维数等关键概念。
#### 4. **代数**
第四章介绍了代数结构，尤其是结合域的代数，这是线性代数的重要组成部分。这一部分覆盖了代数的基本概念，包括环、域上的代数和它们的性质。
#### 5. **线性独立与维度**
第五章讨论了线性独立性和维度，这是理解向量空间的关键。通过定义线性组合和线性独立，作者阐述了如何确定向量空间的维度，这是衡量空间大小的核心指标。
#### 6. **线性变换**
第六章集中于线性变换，这是线性代数的核心概念之一。线性变换是一种函数，它将一个向量空间映射到另一个向量空间，同时保持向量的加法和标量乘法。该章节详细讲解了线性变换的性质和表示方法。
#### 7. **端同态代数**
第七章介绍了端同态代数，这是研究自同构线性变换的代数结构。通过对端同态代数的研究，可以深入了解线性变换之间的关系及其性质。
#### 8. **矩阵表示**
第八章关注线性变换的矩阵表示，解释了如何用矩阵来表示线性变换，以及如何通过矩阵操作解决线性代数问题。矩阵是线性代数中不可或缺的工具，能够直观地展现线性变换的作用。
#### 9. **方阵的代数**
第九章专门研究方阵的代数，即n×n矩阵的集合。这部分不仅涵盖了矩阵的基本运算，如加法、乘法、逆矩阵，还深入探讨了行列式、特征值、特征向量等高级概念。
#### 10. **线性方程组**
第十章讨论了线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、克拉默法则等，这是解决实际问题时常见的数学模型。
#### 11. **行列式**
第十一章专注于行列式的概念和性质，行列式是方阵的一个特殊数值，用于判断矩阵的可逆性，以及计算体积、面积等几何量。
#### 12. **特征值与特征向量**
第十二章讲解了特征值和特征向量，这是矩阵理论的核心，它们揭示了矩阵变换的本质特性，对于理解矩阵的行为至关重要。
#### 13. **克罗洛夫子空间**
第十三章介绍了克罗洛夫子空间，这是一个与线性变换相关的子空间概念，常用于数值分析和工程领域。
#### 14. **对偶空间**
第十四章探讨了对偶空间，这是与原向量空间相关的另一个空间，对偶空间中的元素称为泛函，可以对原空间中的向量进行线性评估。
#### 15. **内积空间**
第十五章讲解了内积空间，这是一种具有内积运算的向量空间，内积提供了测量向量长度和角度的方法，是几何和物理学中重要的概念。
#### 16. **正交性**
第十六章重点讨论了正交性，即向量间的垂直关系。在内积空间中，正交向量具有重要的性质，如正交基的构建，这是高效数据压缩和信号处理的基础。
#### 17. **自伴随端同态**
第十七章介绍了自伴随端同态，这是一种特殊的线性变换，其性质类似于实数轴上的函数，具有对称性和可约性。
#### 18. **酉和正规端同态**
第十八章讲解了酉端同态和正规端同态，这两种线性变换在线性代数中有着特殊的地位，与复数域上的矩阵密切相关。
#### 19. **摩尔-彭罗斯伪逆**
第十九章探讨了摩尔-彭罗斯伪逆，这是矩阵的一种广义逆，适用于非方阵或不可逆矩阵，对于解决不适定问题非常有用。
#### 20. **双线性变换与形式**
第二十章讲解了双线性变换和双线性形式，这是线性代数与多变量微积分的交叉点，双线性变换在几何学和物理学中有广泛的应用。
### 结语
《线性代数：初阶研究生应知》一书不仅包含了线性代数的理论框架，还深入浅出地讲解了每一项核心概念的实践应用，是初阶研究生乃至任何希望深化线性代数知识的学习者不可或缺的资源。通过本书的学习，读者将建立起坚实的线性代数基础，为后续的数学研究和其他学科领域的探索铺平道路。
学习study2014-07-04内容太少了！
