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概率公式大全 (2).docx
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第一章 随机事件和概率
合公式
加法原理(两种方法均能完成此事):m+n
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种
乘法原理
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由 n 种
方法来完成,则这件事可由 m×n 种方法来完成。
重复排列和非重复排列(有序)
对立事件(至少有一个)
见排列
顺序问题
(4)随机试 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在
验 和 随 机 事进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。
件
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下
性质:
①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母 A,B,
C,…表示事件,它们是 的子集。
为必然事件,Ø 为不可能事件。
不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必
然事件(Ω)的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系:
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分,(A 发生必有事件 B 发生):
如果同时有 , ,则称事件 A 与事件 B 等价,或称 A 等于 B:A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件:A B,或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件,称为A 与 B 的差,记为 A-B,也可表示
为 A-AB 或者 ,它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
(6)事件的 A、B 同时发生:A B,或者AB。A B=Ø,则表示A 与 B 不可能同时发生,称事件
关系与运算 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为 。它表示 A 不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算:
结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
德摩根率:
设 为样本空间, 为事件,对每一个事件 都有一个实数 P(A),若满足下列三个条
(7)概率的 件:
,
公理化定义 1° 0≤P(A)≤1,
2° P(Ω) =1
1
常称为可列(完全)可加性。
设任一事件 ,它是由 组成的,则有
型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中
(9)几何概 的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。对
型
式
当 P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B A 时,P(A-B)=P(A)-P(B)
式
定义 设 A、B 是两个事件,且 P(A)>0,则称 为事件 A 发生条件下,事件 B 发生
(12)条件概的条件概率,记为 。
率
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
乘法公式:
式
必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
式
(16)贝叶斯设事件 , ,…, 及 满足
2
公式
1° , ,…, 两两互不相容, >0, 1,2,…, ,
则
此公式即为贝叶斯公式。
,( , ,…, ),通常叫先验概率。 ,( , ,…, ),通常称为后验概率。贝
叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
我们作了 次试验,且满足
u
u
每次试验只有两种可能结果, 发生或 不发生;
次试验是重复进行的,即 发生的概率每次均一样;
(17)伯努利
u
每次试验是独立的,即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影
响的。
概型
这种试验称为伯努利概型,或称为 重伯努利试验。
用 表示每次试验 发生的概率,则 发生的概率为 ,用 表示 重伯努利试验中 出
现 次的概率,
, 。
第二章 随机变量及其分布
(1)离散型 设离散型随机变量 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件
随机变量的 (X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk,k=1,2,…,
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给
出:
。
随机变量的 ,
分布密度 则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。
密度函数具有下面 4 个性质:
1° 。
2° 。
连续型随机 积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起
变量的关系 的作用相类似。
数
称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数。
可以得到 X 落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间(– ∞,x]内
的概率。
分布函数具有如下性质:
1°
;
2° 是单调不减的函数,即 时,有 ;
3° , ;
4° ,即 是右连续的;
3
5° 。
布
在 重贝努里试验中,设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数
是随机变量,设为 ,则 可能取值为 。
, 其中 ,
则称随机变量 服从参数为 , 的二项分布。记为 。
当 时, , ,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布
的特例。
设随机变量 的分布律为
, , ,
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布,记为 或者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞)。
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布,记为 H(n,N,M)。
,其中 p≥0,q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布,记为 G(p)。
设随机变量 的值只落在[a,b]内,其密度函数 在[a,b]上为常数 ,
即
a≤x≤b
其他,
则称随机变量 在[a,b]上服从均匀分布,记为 X~U(a,b)。
分布函数为
a≤x≤b
0,
1,
x<a,
x>b。
当 a≤x1<x2≤b 时,X 落在区间( )内的概率为
。
指数分布
,
,
4
其中 ,则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
X 的分布函数为
,
x<0。
记住积分公式:
正态分布
设随机变量 的密度函数为
, ,
其中 、 为常数,则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或
高斯(Gauss)分布,记为 。
具有如下性质:
1° 的图形是关于 对称的;
2° 当 时, 为最大值;
若 ,则 的分布函数为
。。
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布,记为 ,其密度函数
记为
分布函数为
。
Φ(-x)=1-Φ(x)且 Φ(0)= 。
如果 ~ ,则 ~ 。
。
(6)分位数 下分位表: ;
上分位表: 。
(7)函数分离散型
布
,
的分布列( 互不相等)如下:
,
若有某些 相等,则应将对应的 相加作为 的概率。
先利用X 的概率密度fX(x)写出 Y 的分布函数FY(y)=P(g(X)≤y),
再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。
第三章 二维随机变量及其分布
(1)联合分离散型
如果二维随机向量 (X,Y)的所有可能取值为至多可
列个有序对(x,y),则称 为离散型随机量。
布
设 =(X,Y)的所有可能取值为 ,且事件{ = }的概率
5
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