《数值分析报告》习题解答1东南大学.pdf

在数值分析中，有效数字是衡量近似数精度的重要概念。有效数字是指在数字中从第一个非零数字开始，直到末尾的所有数字，包括中间的零。此外，末尾的零也被视为有效数字，除非它们仅仅是小数点后的填充零。有效数字的计算涉及到舍入规则，通常遵循四舍五入的原则。 在提供的习题中，我们需要确定每个近似数的有效数字位数，并在必要时进行舍入。以下是具体解答： 1. 对于x1 = 451.023和x1 = 451.01，x1具有4位有效数字。根据四舍五入规则，x1被舍入为451.02。 2. x2 = -0.045113和x2 = -0.04518，x2具有2位有效数字，舍入后为-0.0451。 3. x3 = 23.4213和x3 = 23.4604，x3具有3位有效数字，但不能简单地舍入为23.5，因为它会改变有效数字的位数，因此保留3位有效数字，舍入后为23.4。 4. x4 = 和x4 = 0.3333，x4具有4位有效数字，舍入后为0.3333。 5. x5 = 23.496和x5 = 23.494，x5具有4位有效数字，按照四舍五入规则，x5被舍入为23.50，不能写作23.49，因为这会改变有效数字的位数。 6. x6 = 96 × 10^5和x6 = 96.1 × 10^5，x6具有2位有效数字，舍入后为96 × 10^5，不能写作96.1 × 10^5，因为这将增加有效数字的位数。 7. x7 = 0.00096和x7 = 0.96 × 10^-3，x7是精确值，具有4位有效数字，无需舍入。 8. x8 = -8700和x8 = -8700.3，x8具有4位有效数字，为精确值，不需要舍入。 在数值运算中，误差传播是另一个关键考虑因素。当两个近似数相加或相减时，误差的和或差通常不超过单个数误差的和。例如： - 在(1)中，x1 + x2的误差不超过x1和x2各自误差的最大值。 - 在(2)中，x1 - x2的误差同样不超过x1和x2的误差之和。 - 对于乘法和除法运算，误差通常是参与运算数误差的线性组合。例如，在(3)中，x1 * x2的误差是x1和x2误差的组合，而在(4)中，x1 / x2的误差计算则更为复杂，但同样基于x1和x2的误差。 在处理有效数字和运算时，需要注意的是，舍入操作可能会引入新的误差，因此在数值计算中选择合适的舍入策略是非常重要的，这会影响到结果的精度和可靠性。在实际应用中，比如互联网上的数据处理和计算，了解这些基础知识能帮助我们更好地理解和处理数值数据。