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东南大学第二版数值分析习题答案,仅供参考
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习题 1
1. 以下各表示的近似数,问具有几位有效数字?并将它舍入成有效数。
(1) =451.023, =451.01;
*
1
x
1
x
(2) =-0.045 113, =-0.045 18;
*
2
x
2
x
(3) =23.421 3, =23.460 4;
*
3
x
3
x
(4) =
*
4
x
3
1
, =0.333 3;
4
x
(5) =23.496, =23.494;
*
5
x
5
x
(6) =96× , =96.1× ;
*
6
x
5
10
6
x
5
10
(7) =0.000 96, =0.96×
*
7
x
7
x
3
10
−
;
(8) =-8 700, =-8 700.3。
*
8
x
8
x
解:(1) 451.023
=
*
1
x
=
1
x 451.01
=−
1
*
1
xx
0.013
1
10
2
1
−
×≤
, 具有 4 位有效数字。 451.0
1
x →
1
x
(2) 0.045 113
−=
*
2
x
−
=
2
x 0.045 18
=−<×
−
2
*
2
4
10
2
1
xx
0.045 18 045113.0
−
=0.000 067
3
10
2
1
−
×<
2
x
具有 2 位有效数字,
045.0
2
−
→x
(3) 23.4213
=
*
3
x
=
3
x
23.4604
=−
3
*
3
xx
=
− 4604.234213.23 =
−
4213.234604.23
1
10
2
1
0391.0
−
×≤
3
x
具有 3 位有效数字, (不能写为 23.5)
4.23
3
→x
(4)
=
*
4
x
3
1
, 0.3333 =
4
x
=−
4
*
4
xx
4
10
2
1
000033.0
−
×<Λ , 具有 4 位有效数字, 0.3333
4
x
=
4
x
(5) 23.496
, 23.494
=
*
5
x
=
5
x
=−
5
*
5
xx
=
− 494.23496.23
2
10
2
1
002.0
−
×<
5
x
具有 4 位有效数字, 23.50 (不能写为 23.49)
→
5
x
(6)
=
*
6
x
5
1096 ×
7
1096.0
×
=
=
6
x
5
101.96
×
7
10961.0 ×
=
=−
6
*
6
xx
7
10001.0
−
×
72
1010
2
1
−−
××≤
6
x
具有 2 位有效数字,
57
6
10961096.0 ×=×=x
(7) 0.00096
=
*
7
x
3
7
1096.0
−
×=x
3*
7
1096.0
−
×=x
0 精确
=−
7
*
7
xx
7
x
(8)
8700
*
8
−=x
8
x
3.8700
−
=
8
*
8
xx −
0
10
2
1
3.0 ×≤= 具有 4 位有效数字, 精确
8
x
8
x
8700−=
2.
以下各数均为有效数字:
(1) 0.1062 + 0.947;
(3)2.747
×
6.83;
(2)23.46
―12.753;
(4)1.473 / 0.064
。
问经过上述运算后,准确结果所在的最小区间分别是什么?
解:(1) =0.1062, =0.947, + =1.0532
1
x
2
x
1
x
2
x
)(
1
xe
4
10
2
1
−
×≤ , )(
2
xe
3
10
2
1
−
×≤
)()()(
2121
xexexxe
+
≈
+
≤
+
≤
)()(
21
xexe
34
10
2
1
10
2
1
−−
×+×
=0.00055
*
2
*
1
xx +
∈
[1.0532 ,1.0532+0.00055]=[1.05265,1.05375] 00055.0−
(2) =23.46
, 12.753
1
x −=
2
x
=
−
21
xx
10.707
)(
1
xe
2
10
2
1
−
×≤ , )(
2
xe
3
10
2
1
−
×≤
)()()(
2121
xexexxe −
≈
−
≤
)()(
21
xexe
+
32
10
2
1
10
2
1
−−
×+×≤ =0.0055
∈−
*
2
*
1
xx
[10.707 , 10.707+0.0055]=[10.7015,10.7125] 0055.0−
(3) 2.747 6.83
=
1
x =
2
x
=
21
xx
18.76201,
≤)(
1
xe
3
10
2
1
−
× , )(
2
xe
2
10
2
1
−
×≤
)()()()()(
2112211221
xexxexxexxexxxe
+
≤
+≈
××=××+××≤
−−− 223
10
2
1
10
2
1
747.210
2
1
83.6 (0.683+2.747)=0.01715
]77916.18,74486.18[]01715.076201.18,01715.076201.18[
*
2
*
1
=+−∈xx
(4) 1.473 ,
=
1
x
=
2
x
0.064 ,
=
21
xx
23.015625
)(
1
xe
3
10
2
1
−
×≤
, )(
2
xe
3
10
2
1
−
×≤
)()(
1
)(
2
2
2
1
1
2
2
1
xe
x
x
xe
x
x
x
e −≈
=+≤ )()(
1
)(
2
2
2
1
1
2
2
1
xe
x
x
xe
x
x
x
e
3
2
3
10
2
1
064.0
473.1
10
2
1
064.0
1
−−
××+××
=0.187622
∈
*
2
*
1
x
x
[23.015625 , 23.015625+0.187622] 187622.0−
=[22.828003 , 23.203247]
3.
对一元 2 次方程 ,如果
0140
2
=+− xx ≈399
19.975 具有 5 位有效数字,
求其具有
5 位有效数字的根。
解: 0140
2
=+−
x
x
39940040
2
=+−
x
x
=
*
1
x
39920 +
,
=
*
2
x
39920
1
39920
+
=−
记
=
*
x
399
, =
x
19.975 )(xe
3
10
2
1
−
×≤
=
1
x
20
x
+
=20+19.975=39.975 )()(
21
xexe
=
3
10
2
1
−
×≤
∴
具有 5 位有效数字。
1
x
=
2
x
Λ0250156347.0
975.39
1
975.1920
1
20
1
==
+
=
+ x
−
≈
)(
2
xe
2
)20(
)(
x
xe
+
,
≤
+
≈
2
2
)20(
)(
)(
x
xe
xe
66
2
3
10
2
1
10313.0
975.39
10
2
1
−−
−
×<×=
×
因而 具有 5 位有效数字。
2
x
≈
2
x
0.025016
也可根据 1 得到
=
21
xx
==
1
2
1
x
x
Λ0250156347.0
975.39
1
=
2
1
1
2
)(
)(
x
xe
xe −≈
2
6
2
1
1
2
975.39
10
2
1
)(
)(
−
×
≤≈
x
xe
xe
4.若 具有 3 位有效数字,问 的相对误差限是多?设937.0
1
≈x
1
x
xxf −= 1)(
,求 的绝对误差限和相对误差限。 )(
1
xf
解: 0.937
=
1
x
)(
1
xe
3
10
2
1
−
×≤
≤=
1
1
1
)(
)(
x
xe
xe
r
3
3
10534.0
937.0
10
2
1
−
−
×=
×
xxf −= 1)(
,
x
xf
−
−
=
′
12
1
)(
=
′
≈ )()()( xexffe
2
1
−
)(
1
1
xe
x
−
⋅
,
≈))((
1
xfe
2
1
)(
1
1
1
1
xe
x−
⋅
33
10996.010
2
1
937.01
1
2
1
−−
×=××
−
×≤
−≈=
f
fe
fe
r
)(
)(
)(
1
1
2
1
xe
x−
⋅
,
≈
))((
1
xfe
r
2
1
≤
−
⋅ )(
1
1
1
1
xe
x
3
10
2
1
937.01
1
2
1
−
××
−
×
=
3
1097.300397.0
−
×
=
5.
取 42.101.2 ≈ , 41.100.2 ≈ 试按 00.201.2 −=A 和
)00.201.2(01.0 +=A
两种算法求
A
的值,并分别求出两种算法所
得
A
的近似值的绝对误差限和相对误差限,问两种结果各至少具有几位
有效数字?
解:1) 记
=
*
1
x
01.2
,
=
1
x
1.42 , =
*
2
x
00.2
, 1.41
=
2
x
则 ≤)(
1
xe
2
10
2
1
−
× , )(
2
xe
2
10
2
1
−
×≤
*
A
01.041.142.100.201.2 =−≈−=
1
A
01.041.142.1
=
−=
)()()()(
21211
xexexxeAe
−
≈
−
=
)()()()()(
21211
xexexexeAe
+
≤
−
≈
222
1010
2
1
10
2
1
−−−
=×+×=
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