东南大学第二版数值分析习题答案

### 数值分析习题解答知识点 #### 知识点一：有效数字的理解与计算 **定义**：在数值计算中，有效数字是指那些能够反映数值真实大小的数字，包括所有确定的数字加上第一个不确定的数字。 **计算方法**： 1. **确定有效数字的个数**：对于给出的两个数\( x_1 \)和\( x_2 \)，如果它们的相对误差分别为\( e_1 \)和\( e_2 \)，那么计算结果的有效数字个数可以通过比较两个相对误差来确定。 - 若\( |e_1| > |e_2| \)，则结果的有效数字个数由\( x_1 \)决定； - 若\( |e_1| < |e_2| \)，则结果的有效数字个数由\( x_2 \)决定； - 若\( |e_1| = |e_2| \)，则结果的有效数字个数取二者中较小的一个。 2. **舍入规则**：当确定了有效数字后，根据结果的有效数字个数进行四舍五入。 **例题解析**： - **例1**：给定\( x_1 = 451.023 \)与\( x_1' = 451.01 \)。首先计算相对误差\( |e| = |x_1 - x_1'| / |x_1| \approx 0.013 \times 10^{-2} \)，由于该误差小于\( 10^{-2} \)，故\( x_1 \)有四位有效数字。因此，将\( x_1 \)舍入为四位有效数字得到\( x_1 = 451.0 \)。 - **例2**：给定\( x_2 = -0.045113 \)与\( x_2' = -0.04518 \)。计算相对误差\( |e| = |-0.045113 + 0.04518| / |-0.045113| \approx 0.000067 \times 10^{-2} \)，该误差小于\( 10^{-2} \)，所以\( x_2 \)有两位有效数字。因此，\( x_2 \)应舍入为\( x_2 = -0.045 \)。 - **例3**：给定\( x_3 = 23.4213 \)与\( x_3' = 23.4604 \)。计算相对误差\( |e| = |23.4213 - 23.4604| / |23.4213| \approx 0.0391 \times 10^{-2} \)，该误差小于\( 10^{-2} \)，所以\( x_3 \)有三位有效数字。因此，\( x_3 \)应舍入为\( x_3 = 23.4 \)。 - **例4**：给定\( x_4 = \frac{1}{3} \)与\( x_4' = 0.3333 \)。计算相对误差\( |e| = |\frac{1}{3} - 0.3333| / |\frac{1}{3}| \approx 0.000033 \times 10^{-2} \)，该误差小于\( 10^{-2} \)，所以\( x_4 \)有四位有效数字。因此，\( x_4 \)应舍入为\( x_4 = 0.3333 \)。 - **例5**：给定\( x_5 = 23.496 \)与\( x_5' = 23.494 \)。计算相对误差\( |e| = |23.496 - 23.494| / |23.496| \approx 0.002 \times 10^{-2} \)，该误差小于\( 10^{-2} \)，所以\( x_5 \)有四位有效数字。因此，\( x_5 \)应舍入为\( x_5 = 23.50 \)。 - **例6**：给定\( x_6 = 96 \times 10^{-5} \)与\( x_6' = 96.1 \times 10^{-5} \)。计算相对误差\( |e| = |96 \times 10^{-5} - 96.1 \times 10^{-5}| / |96 \times 10^{-5}| \approx 0.001 \times 10^{-2} \)，该误差小于\( 10^{-2} \)，所以\( x_6 \)有两位有效数字。因此，\( x_6 \)应舍入为\( x_6 = 96 \times 10^{-5} \)。 - **例7**：给定\( x_7 = 0.00096 \)。这是一个精确值，所以它有三位有效数字。 - **例8**：给定\( x_8 = -8700 \)与\( x_8' = -8700.3 \)。计算相对误差\( |e| = |-8700 + 8700.3| / |-8700| \approx 0.0003 \times 10^{-2} \)，该误差小于\( 10^{-2} \)，所以\( x_8 \)有四位有效数字。因此，\( x_8 \)应舍入为\( x_8 = -8700 \)。 #### 知识点二：算术运算后的有效数字处理 **定义**：在进行加减乘除等算术运算时，结果的有效数字个数取决于参与运算的数的有效数字个数以及它们之间的关系。 **规则**： 1. **加减法**：结果的有效数字位数取决于参与运算的数中小数点后位数最少的那个数。 2. **乘除法**：结果的有效数字位数取决于参与运算的数中有效数字位数最少的那个数。 **例题解析**： - **例1**：给定\( x_1 = 0.1062 \)与\( x_2 = 0.947 \)。这两个数的有效数字分别为四位和三位。进行加法运算\( x_1 + x_2 = 1.0532 \)，结果的有效数字个数由\( x_2 \)决定，即为三位。因此，\( x_1 + x_2 \)应舍入为\( 1.05 \)。 - **例2**：给定\( x_1 = 23.46 \)与\( x_2 = 12.753 \)。这两个数的有效数字分别为四位和四位。进行减法运算\( x_1 - x_2 = 10.707 \)，结果的有效数字个数由\( x_2 \)决定，即为四位。因此，\( x_1 - x_2 \)应舍入为\( 10.707 \)。 - **例3**：给定\( x_1 = 2.747 \)与\( x_2 = 6.83 \)。这两个数的有效数字分别为四位和三位。进行乘法运算\( x_1 \times x_2 = 18.76201 \)，结果的有效数字个数由\( x_2 \)决定，即为三位。因此，\( x_1 \times x_2 \)应舍入为\( 18.8 \)。 通过以上知识点的学习，我们可以更好地理解和掌握数值分析中的有效数字及其计算方法，这对于进行科学计算和工程应用具有重要意义。