### 东南大学研究生学位课《数值分析》课后习题答案解析
#### 习题1：有效数字与近似数的处理
本题主要考察学生对有效数字的理解以及如何将一个数舍入到指定的有效数字数量。有效数字是指在测量或计算过程中能够可靠地表达的数字，通常包括所有确定的数字加上第一个不确定的数字。对于给定的数值，我们需要判断其有效数字的数量，并将其正确舍入。
**例题解析：**
1. 对于 \(\boldsymbol{x_1 = 451.023}\) 和 \(\boldsymbol{x_1^* = 451.01}\)，两者之间的绝对误差为 \(0.013\)，小于 \(1 \times 10^{-2}\)，因此可以认为有四位有效数字。舍入后的结果为 \(451.0\)。
2. 对于 \(\boldsymbol{x_2 = -0.045113}\) 和 \(\boldsymbol{x_2^* = -0.04518}\)，绝对误差为 \(0.000067\)，小于 \(2 \times 10^{-4}\)，意味着有两位有效数字。舍入后为 \(-0.045\)。
3. 对于 \(\boldsymbol{x_3 = 23.4213}\) 和 \(\boldsymbol{x_3^* = 23.4604}\)，绝对误差为 \(0.0391\)，小于 \(1 \times 10^{-2}\)，所以有三位有效数字。注意，尽管实际误差超过了 \(1 \times 10^{-3}\)，但根据规则，我们仍将其视为三位有效数字。舍入后为 \(23.4\)。
4. 对于 \(\boldsymbol{x_4 = 1}\) 和 \(\boldsymbol{x_4^* = 0.3333}\)，绝对误差为 \(0.000033\)，小于 \(1 \times 10^{-4}\)，故有四位有效数字。舍入后为 \(0.3333\)。
5. 对于 \(\boldsymbol{x_5 = 23.496}\) 和 \(\boldsymbol{x_5^* = 23.494}\)，绝对误差为 \(0.002\)，小于 \(1 \times 10^{-3}\)，拥有四位有效数字。舍入后为 \(23.50\)（注意不要写作 \(23.49\)）。
6. 对于 \(\boldsymbol{x_6 = 96 \times 10^{-5}}\) 和 \(\boldsymbol{x_6^* = 96.1 \times 10^{-5}}\)，绝对误差为 \(0.1 \times 10^{-5}\)，小于 \(1 \times 10^{-6}\)，表明有两位有效数字。舍入后为 \(96 \times 10^{-5}\) 或 \(0.000096\)。
7. 对于 \(\boldsymbol{x_7 = 0.00096}\) 和 \(\boldsymbol{x_7^* = 0.96 \times 10^{-3}}\)，由于两者完全相等，因此有效数字数量取决于原数值的定义，这里假定为三位有效数字，即 \(0.00096\)。
8. 对于 \(\boldsymbol{x_8 = -8700}\) 和 \(\boldsymbol{x_8^* = -8700.3}\)，绝对误差为 \(0.3\)，小于 \(1 \times 10^{-1}\)，所以有四位有效数字。舍入后为 \(-8700\)。
#### 习题2：运算后的最小区间
这部分习题涉及有效数字在基本算术运算（加、减、乘、除）中的应用，重点是确定运算后结果的最小区间，以反映有效数字带来的不确定性。
**例题解析：**
1. 对于加法 \(\boldsymbol{0.1062 + 0.947}\)，两个数各有四位和三位有效数字，加法后的最小区间应考虑误差的累积。计算后得到的准确结果为 \(1.0532\)，误差范围为 \(0.00055\)，因此最小区间为 \([1.05265, 1.05375]\)。
2. 对于减法 \(\boldsymbol{23.46 - 12.753}\)，差值为 \(10.707\)，误差范围为 \(0.0055\)，则最小区间为 \([10.7015, 10.7125]\)。
3. 对于乘法 \(\boldsymbol{2.747 \times 6.83}\)，积为 \(18.76201\)，考虑到乘法中有效数字的影响，最小区间需进一步计算确定。
这些例题不仅检验了学生对有效数字概念的理解，还锻炼了他们在实际计算中应用这一原则的能力，这对于从事科学计算、数据分析等领域的专业人士而言至关重要。通过这类练习，学生能更好地掌握数值分析的基本技能，提高数据处理的准确性与可靠性。
