数值分析-第四版-课后习题答案

所需积分/C币:33 2019-04-22 14:00:22 444KB PDF
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数值分析答案,理科研究生研一,数值分析课后习题答案(第四版)。
8、在-4≤4≤4上给出f(x)=e的等距节点函数表,若用二次插值求c的近 0、如果f(x)是m次多项式,记△f(x)-f(x+h)-f(x),证明f(x)的k阶差分 使截断误差不超过10,利使用函数的步长h应取多少? △f(x)(0≤k≤m)是m-k次多项式,并且Af(x)=0(1为正整数 解」由题意可知,改x使用节点x=x1-h,x1 x+h进行二次攉值,则插值余 [证明]对k使用薮学归纳法吋 证明△fg2)=A,ga+f△g R,(x= (x-x。)x-x1)x-x2) 项为 听叫rg,)=f8n-J8,=ftn8+-51g,+1x-f8k [x-(x1-b)](x-x1)[x-(x1+)].5∈(xn,÷2) =(f+1-)81+f(gA4-3)=4(3k1+4g 令f(x)=[x-(x1-h)(x-x1)x-(x1+刷=x2-3xx2+(3x-h2)x+x(x2-h2) 12、证明∑f△gA=f,g,-fg L证明」因为 则f(x)-3x2-6xx+(3x2-h),从而f(x)的极值点为x=x1±h,故 ImaX t (x 11(11-g)+g41(A-j)-∑(g4+fn-1g)-fgn-fg B()=6m四()6204=√s,要使其不超过10°,则有 13、证明:∑^y=An-Ay h3≤10,即h≤ 102×10-2-0.472×10-2 证明]∑Ay,=∑(4 )=Ay 9、若v1=2”,求Ayn及'yn 4、若f(x)=a+a1x+…+a。x+a,x有n个不同实根工1,x2…,xn,证明 解((1-((y((ycp(y…(p(y [证明]由题意可设f(x)=a(x-xx-3)(x-x)=a(-x),改 而得证 15.证明n阶均差有下列性质: 4/m )若F(x)=g(x,则F[x,t1…,xl=1r,4…r1 16×2-2-32×21+24× 2)若F(x)=f(x)+g(x),则F[xn,x1…,xn]=八xn,x…,xn]+g[x,x1,…,x 1,",= ∏ ∏I(x ,) 从而 ∏(x,-x,) 5a;+2a,+a l=P(2)=16a1+8a1+4a,+2a+a ∏(x-x}"∏( S1()+S_8(x) . =/,, x, ",,]+glx,r' 9) ∏(1-x) 20、设f(x)EC[u小,把[cb]分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数 6、f(x)=x2+x4+3x+1,求∫120,21…27],「2,2,…,2] gn(x),并证明当n→x时,p(x)在[a,]上一致收敛到f(x) f(5)7 [解]令g(x) 「解]∫[21,21,…,21 ,2] 证明两三次埃尔米特插值余项是 ,设f(x)=1(1+x2),在-5≤4≤5二取n=10,按等距节点求分段线性插值函数 R(x)=f"(x-x)(x-x)24,∈(x,x) 2(x),计算各节点口点的l3(:)与f(x)的值,并计误差 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限 解由题意可知,h=1,从而当xc[x,x1]时 7,i)=/7-/kl 1+{2x1-x1+(h+1)2x1 9、求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P0)-P(U)-0,P(1)-p(1-1 (x-x1)+ l[1+(k+1)2] P(2)=1。 22,求f(x)-x2在[a,b]上的分段线性插函数!1(x),并估计误差 解]设P(x)=a4x-m3x2+2x2+1x+a,则P(x)=4nr2+3a2x2+2n2x+a 解]设将[5]划分为长度为h的小x间a-x0≤x1≤…≤x,-b,则当x∈[=,x,] 重庄PO0)=P0)=0,P(=P(1)=1,P(2)=1可得 t=0,1,2,…,川-1时 xi=M-x)+51 -+ -x(xx+x1-x2IXA 故2(x)=|x-x2(x-x) 0.09+0.06 23、求f(x)=x4在[ab]上的分段埃尔米特插值,并估计误差。 h,0.063 解]设将,6划分为长度为h的小区间a=x≤x1s…≤x=b,则当x∈[,x小, )式g:-3(,fx,x1+山fx,x=1)(j-1,…m-1)可知 1时, f(x1)-f(x0) l,xi=fa,+fan+B,+fB,(x) g1=3(A.f:8,x+Hfx2x2]) 0.5477-0.5C0050.6245-0.5477 l+2 39-0. 2.754 (T-T)+4x 14500149007000 =3(2/[x1:x2]+/2x2,x3]= (x2)-/(x1),3f(x:)-f(x 从误差为R:{~、f(5) (x-x2)(x-xk+)-(x-xk)(x-x2+1) 5x3-x2 2C.6245-0.547730.0708-0.024 50.39-0.3050.45-0.3 故2(x)=kx-x2)(x一x)≤ 76s+3×353-21×25+3×163 24、给定数据表如下 f(x3)f(x2),3f(x1)f(x2) 0.250.300.390.450.53 g=34xx1+,1=370827,-x y,0.5000.547710.62450.67080.7290 =3×(4x0708-06245+3×0230=06708 从而 0.53-0.45 求二次样条函数S(x),并满足条仁 =3×(4×463+3×42)=4x43+9×18-1457=20814 7600 )S'(0.25)=10000,S'0.53)=06868 2.7541--x10C00 2)S"(025)="(0.53)=0 1)矩阵形式为 2413,解得 「解1由b。=0.30-0.25=0.05,h1=0.39-0.30=0.09,h2=0.45-0.39=0.06 4 2.0814-二×0.6858 17871 42-053-015=008,(10)式2=4 可 h 0.9078 2-0.8278,从而S(x)-∑Uy,(x)+m1(x 0.09+0.065 2)比为然边界条仁.或 k3 8 S-31x,x1-3f(x1)-f(x 0.5477-0.5000 k2+10.06+0.087 0.30-0.25 f(x)-f(x 0.7280-0670 8, =fjlIu-,,=3 0.53-0.45 =2.145 [解]由y=y(x3)=c=1,y1=y(A1)=e可知 1()= 1×x-12xx0 1-0 1000 2.754 余项为R(x)=C-xXx-x1=x=D,5e(o) 矩阵形式为:0 =2413 可以解得m, xmaxe' x max r( 2.14 设f(x)=x4,试利用拉格朗日插值余项定理写出以-10,2为插值节点的三次插值 多项式 [解]由插值会项定理,有 S(x)-∑[a,(x)+mB(x) R2(x)- (x-xo).c-x,xx-x, (x 25、若f(x)∈CI,,S(x)是三次样条函效,证明 (x+1)xi:-1)(x-2)-(x2-2x)(x2-1)-x-2x3 ∫Ur()h-ohx=r(-1mh+x1r()-h 从而L2(x)-f(x)-R1(x)-x4-(x4-2x3-x2+2x)-2x3+x2-2x 2)若f(x:)-S(x)(i-u,,…,n),式中x为指值节点,且a-x0<x<…<x1-b 3、设f(x)在[ab内有二阶谁续导数,求证: 则Sx(x)-Sx)ax=s(b)(b)-s(6)-Stca)-s(a nax/()-[r(a f(bi-fai [()-sS"t+2Jsts(x)-s"(a (x-a)≤。(b-4)2max/"t =[f(x)-s'(x)+25(xf(x)-s°1xt 证]因为(a)+6)-(a)(x-a)是以a,b为插值节点的(x)的线性插值多项式 解)="(x)-S'(x)+2()H/x)-s(x 利用插值多项式的余项定理,得到 rs)+st)m()-s()h=[(x)-S" f(x)-[f(a+ f(5)-f(ay x-a--f"()x-a)(x-b),从而 ∫[rars(x) max/(x)-lf(a (b)-(a) x-a月≤m3/(),mx-a 2)由题意可知,S"(x)=A,x∈[a,b,所以 Sb/)-s6-SaU(o)-S(a)-4广r(x)-S(2]k 1,丌2°,2,221,f20,21…,21和 Sbf'b)-S(b-s(a[f(a)-S(a)-f(x)-S(x S(blfb-sb-S(al(a)-s(a) L解」因为f(2")=f()=7,f(2)=f(2)=2+5x2+1=169 补充题:1、令x-0,1=1,写出ν(x)-ε的一次撻值多项式L1(x),并估计插值 (2)-f(4)-4+5×4+1-16705,所以f20,21_f(2)=f(1)_169-7-162, 122]=24-/2) 试计算出此列表函数的差分表,并利用牛顿向前插值公式给出它的桶值多项式 [解]构造差分表: f21,221-f2 =270 |44244厂 1,2,2 5、给定数据表:i=1,2,3,4,5 M(x,+t/)=fa+tAf,+ f 出差分表可得插值多项式为 f(x,) =3-3t+ 2×2=3+3+n(t-1)=t3+2+3 求4次牛顿插值多项式,并写出插值余项 f(x)一阶差商二阶差商二阶差商匹阶差商 6 L80 由差商表可得4次牛顿插值多项式为 N4(x)=4-3(x-1)+i:-1)(-2)-一(x-1)(x-2)(A-4) (x-1(x-2)(x-4)(x-6) ,捅值余项为 =4-3(x-1)+-(x-1)(x (x-1(x-2)(x-4) R4(x)=f(x-1)x-2)x-1)(x-6x-7),5c(1,7) 6、如下表给定函数:i=0,1,2,34 第二章函数遇近与计算 n∑P(x)≤∑mP(x)≤B,(f,x)≤∑MP(x)sM∑P(x) (a)利用区间变换推出区间为[a,b]的泊恩斯坦多项式 (b)对f(x)=smx在0二求1次和3次伯恩斯坦多式并面出图形,并与相应的 ∑2(-25(-=0-+0-可一,从而限 马克劳林级数部分和误差做出比较 (b)当f(x)-x时 解]()令x-a+(b-G),则t∈0从而伯恩斯坦多项式为 B(,x)=∑f(=P(x)=∑f P(x),其中P(x) nl x( (k-D)[(n-1)-(k-1)] b令x=2:,则r,从而伯恩斯丑多项式为 -)x2(-x x「x+{1-x)]-x 6.(,A)=S(xP(x),其中P( 在次数不超过6的多项式中,求f(x)=sin4x在[0,2r]最佳一致逼近多项式。 解1由4=12 从而最小偏差为1,交错点为 B1(,x)-∑2)(x)-f(01 丌,江,丌,丌,丌,。丌,。丌,此即为P(x=H6的切比雪夫交错点组,从而 8 (x)是以这些点为插值节点的拉格朝日多项式,可得Px)-0 fC P(r 4、假设f(x)在[ab上连线,求∫(x)的零次最佳一致道近多项式 rO0-)+r( 解]令m=mf(),M=即f(x),则()=2二m在引上具有最小偏差 从而为零吹最传逼近一次多项式 5.选择常数a,使得maxx3-a达刹极小,又这个解是否唯一? 0x 2-)+my3x3(-+2x 解因为x3-ax是奇函数,所以maxx3-ax=m 再由定理7知,当 √3 x-x)+x x=7=(4x2-3x)时,即 偏差最小 3x-3n(2-3x2-(33-5 6、求f(x)-snx在0.2上的最佳一次逼近多项式,并估计误差 2、求证:(a)当m≤f(x)≤M时,m≤B,(,x)≤M (b)当f(x)=x时,B.(fx)=x [解由a f(x,)-cosr 一二可得x,- accos二,从 证明](a)日B,(,x)=∑f()P(x)及m≤f(x)sM可知 而最佳一次逼近多夏式为 0+arccos u+A 试证()是在(]上带权-=的正交多项式。? y==f(a)+f(r,)-alr--)=-[sin 0+ sim(arccos-)]+-(r 丌2-41 2,在-1上利用插值极小先求f(x)= actan. A的三次近似最住逼近多项式。 arcco 解]由题意可知,插值节点为cos 7、求f(x)="在[o]上的最住次道近多项式 8z,(k=1,2,31 即x=c0s-r,x,=c0s-,x1=cos-丌,x1=cos-z,则可求得L(x)。 [解由 f(b-f(a) e-1可得x,=ln(e-l,从而最生 13、设f(x)=c在1插值极小化近似最住通近多项式为L,(),若|一L,有 次通近多项式为 界,让明对仕何n≥1,仔在常数Cn,B,使得 (a)+f(x2 a-+x, +(e-1) 0+ln(e-1) 7(x)s|(x1-L,(x)≤月.7(x)(-1≤ +(e-D[x--ne-l)=(e-1x+ 1) 证明]由题意可知,A()-L(x-=m"n,1().5=[1,从而取 8、如何选取r,使p(x=x2+r在[1上与零偏差最小?r是香唯一? 解 it max p(x)=max(x2+p)=1+r,minp(x)=min(x2+P=可知当与零偏 ,则可得求证 最小时,1+r-r,从而r--1 4.设在[1]上9(x)-1-1x-x2-3x2-1x2-165 x3,试将φp(x)降低到3 3843840 另解:由定理7可知,在[1上与零偏差最小的三次多项式为 次多项式并估计误差 L解」因为x=T ,所以 9、设f(x)=x2+3x3-1,在0,上求三次最佳過近多演式 p(x)=1--x 2438483840416 解]设所求二次多项式为P(x),则庄定理7可知 02440961024 f(x)-F1(x)-14(x)-(x2-8x2+1-x2-x2+,从m 差为(x)-6(1532+151-123005 n(2-1(-(-x+2-(x2+32-1-(4-+-3x2+2-3 15、在[-1]利用幂级数项数节约求f(x)-smx的3次逼近多项式,使误差不趯过 D],求r'( 解由7(x)=7n(2x-1,xcD可知,令x=1+t,tc[-1,则 解1因为mx=x-二+x+,+(-1)x+…,.取前一项,得到 T(x) 误差为rx=L5(x T,((+1)=T。(,1,从而r( (-x+1 x3-2x,听以3次近多项式为 止时误差为 解]!(xa)k=(x2-20+ah上/ 20.选择a使卜列积分取最小值:(x-ax)dx,Jk +一,从而 6、f(x)是[a,a]上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,f(x)的最佳逼 当 ∫k ,当a≠0时,由 近多项式F(x)=Hn也是奇(偶)函数 L解」f(x)的最仼過近多项式是由切比雪夫多顶式得到的,再由切比晝夫多项式的性质4 t)ds+(a-aa)cx+.(u 求a、b[ax+b-mx2ax为量小,并与题及e的一次逼近多项式误作 x"--ax")+i-ar 解]由h=,千m=2 +a+= sin xdx= 若12a>0,则 d,-5xsin xdx-(-x cos <)6-[-cos xdx-1,nf 「1x-ak-「(x-ax)h+∫(a2-x)d a)-(--a--)-1。同理可知, 当一1<a<0时 0.1148 21、设q1=Pan41,x,q2 分别在q,2上求一元素,使其为 8、f(x),gix)∈C[a,b],定义 x∈C[0约的最佳平方逼近,圻比较其结果。 (a)Ug)=r(xg'(xh:(b)(:g)=f(xgt+r(alge 「解1由[1tx=1,[x x=·hk= 解!(n)因为f(1)=0=(,)=[可h=0ef(x)=0,但反之不成六所 3.解得 6,即在终上 以不构成内积 (b)构成内积 ts 9,用许瓦兹不等式(4.5)估订/+x的上界,并用积分中值定理佔计同一积分的 上下界,并比较其结果 1 99x201×202 03,解得 103×104 ≈375243 [解] ,即在二为 ,”)=5后 8×202×203 V2V3==80.951 375.148 因为一≤ ,所以 L-Irdxsh x≤xadz 35243-375148) 22f(x)=4在[1上,求在Q=mx,x}上的最佳平方逼近 42-1(3--0 解由=上在+[m=1,.+1=上一r在+h= sin -.-(5I-3x)dx 22 226x-300.01-2osx2-3 ,号听加13解得个= =[-4c0s+cos(15x2-3d 579 214c12x33)3m1「2i30x -4cns二+48sin 从前最佳平方逼近多项式为c(x) 23、,(x) sin(n 是第二类切比雪天多项式,正明它有递拄关系 -21+24:09009 -4cos-+48sm-+604c0s--8sn (256cas--432si 151 「证1令x=c0s9,则 sin[(n+ narcos x] sin(narcos x) 从而三次最佳逼近多项式为 n(x)-n1(x)-2 a P(G-a, A(r+a, (x) sin(n+1)0 sin(n0) 2 cos Osin((n+1)o1-sin(no) 151 sin(n+2)8+ sn(ne)-sin(ne)=sIn(n+ 2)8=u.(x) sin e (2240c0s-3780sin-)x2+(2280sin-1340c0s-)x 24、将f(x)-sinx在[1]按勒德多项式及切比雪大多项式展开,求二次最佳平 方诓近多项式并画出误差图形,再计算均方误差 5,把f(x)= arccos在[1]成切比雪夫级数 2C.(x),北中 C [解]若按照切比雪夫多项式展开si 按照切比雪夫多项式展开 skl0,k=0,1,2.…:若安眠数让德多项式展开 sin keel s5-∑(),其中a,-2m÷2(h,从而 -(cosh Tcos kz-ll 1) =3m=,w=(2xc)-∫ -2cs==[(-4)-4inx1 26,月最小二乘法求一个形如y=a+bx的经验公式,使它与下列数振相拟合,并求均 2(-48032)+8sm21-12sin-6z 方误差 44 9.03.349.073.397.8 r)=∑1=6 解1由d=(x).f(x)=∑y=190+323-49.0+733+978=2714 (9(x),9(x)=(,(x,91(x)=∑x=0+09-1.9+3+3.)+5=14 d2-(a2(x),f(x,)-∑y (1(x).(x)=((x).1(x,)=(21x).02(x,) 19.0×192+32.3×252+49.0×312+73.3×38+978×442。 6859+20137.5+47089+1058452-1893408-369321.5 Sx=02+0.92+192+32+3.02+52=0.81+361+9+1521+25=53.63 又(9?(x),q(x=∑ (2(x),g(x)={92(x),92(x1)=∑x3=0°3+09+19+3+393+53 729+6.859+27+59319+1 ((x)9(x)=∑x2=0+09 -361+625+961+1444+1936-5327 =06561+13.0321+81-231.3441+625=951.0323 30321+390625+923521+2085136+3748096=7277699 故法方程为1475363218.907b-1078,解得{b-110814 5353218907951.03234533.2 c-2.2483 故法方程为5532 解得 5327727799b3693 b=0.047 故直线运动为∫(x}=-0.5837+11.0814x+2.2488x2 沟方误差为∑x)-/(x +bx2 补充题:1.现测得通过某电图R的电沇I及其两满的电压U如卜表 6.477025+2732409+0.555025+0.729316+4.9729=15.466675 27、观测物体的直线运动,得出以下数据 )00.91.9:.02.95.0 U,U,U U 离s米)035110 最小二乘原理确定电阻R的太八 电流、电阻与电压之问满足如下关系:U-IR。应用最小二乘原理,求R使得 [解]设直线运动为二次多项式f(x)=a+bx+cx2,则由 (R)=∑(R-C,)2达到最小。对叫(R求导得到:o(R)=2∑(!R-U1)1令 1=((x)(x.)=∑y=0+10+30+50+80+110=280 d2-(2(x),f(x,)-∑yx y(R)=0,得到电阻R为R ∑ 0xU+1U×D.9+30×1.9+50×3+80x3.9+110×5, 9+57+150+312+550=1078 2、对于某个长度测量了r次,得到n个近似值x,x2…,Xn,通常取平均值 d=((x)f(x)=∑x 元(1+万+…+x)作为所求长度,请说明理曰。 0×02+10x0.92+30×1.92+50×32+80×392+110 8.1+l08.3+450+1216.8+2750=4533.2 解1令(x)=∑(x-x1)2,x使得以x)达到最小,对以(x)求异得到: (0.0()=∑ey=12.0()p0o)=∑ax=5法方程为 ()=2(r-r),令(x)=0,得到x。1 a=09497 r,这说明取平均值 解得 100354b =-(s1+2+…+n)在最小二乘意义下误差达到最小。 3,有函数如卜表,要求用公式y-江+bx3拟合所给数挺,试定拟合公式中的a和b -1.760.421.201.341.432.254.38 解]取织(x)-1,g(x)-x3,则 4(x)90(x)-∑1-7,(0(x),91(x)-(x9(x)-∑x2-0 9(x),(x)= 1588,而 2(x2y(x)=∑y2=9.26,(a1{x),y(x)=∑x3y2=190.65。故法方程为 =13229 b=0.ll376 4、在某个低温过程中,函数y依赖、温度6CC)的实验数据为 0.81.51.82.0 已知经验公式的形式为y=aO+b9,是用最小二乘法求出a和b。 解取n(B=b,q()=62,则 2(0、.0(9)=∑62=30,(e(0,g1(0)=(1(0),(0)=∑2=100, ((,n(0)=∑02=354 第四章数值积分与数值微分 (-1+2x1+3x2)/3=xdr=0 「2x1+3 确定下列积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公 式所具有的代数精度 [(-1)+2x12+3x2]/3 ).(xaxs,f(-h)-41(0+4/(6) 2+3√2 L解」分别取f(x)=1,x,x2代入得到 1+2√ A +4+A (-1)+2 -)+40+4b-x 解得{4-h A1(-b)2+n-02+4b2-fx2=h3|41+A=n 又因为当f(x)=x3时,=[-1 36√2+108-54√221+62+24416√ -36-1142 又因为当(=x时,A1(+4,0+4=2=0-x 343 当f(x)=x2时,A1(-h)2+450·02+A1h 二h=h≠二 从而此求积公式最高具有3次代数精度 2).f()A A-f(-h)+A,f(0)+ A, f(h) -1+2x8+36√2+108+5 1-6√2+24-1 43 [解]分别取f(x}=1x,x2代入得到 36+14√2 h A+1+4=1dx=4 十A+ 从而比求积公式最高具有2次代数精度 1{-)+A·0+Ah 4)f(x)dx=hLf(0)+f(h)]/2+ah Lf(0)-f'(h) 16,3 A1(-i)+40·U+,4 [解分别取f(x)-x2代入得到:(0+h2)2+mh2(-2h)-h3,所以a-二,又因 为当f(x)=x2时,M(O+h2)2+(-3)=1 解得{A---h 当f(x)-x时,h(0+n)2+ah2(-43)=h3≠h3,所以此求积公式最高具有 3次代数精度 2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分 又因及当f(0=x时,A(b+4,0+4=3+=0=-x 当f(x)-x时,A1(-h)+4204+A1小4-h+h一一+一h 从血此求积公式最高具有3次代数精度 3)f(x)本[f(-1)+2f(x)+3f(x2)/3 [解]分别取f(x)=,x2代入得到: +7b] T=-[/(a)+2∑(s.)+f 十 [7a2+2(9a2+5ab+b2)+3a2+2ab+b)+2(a2+6ab+95)+7b2] a(30n2+30ab+30b2) 164+22576+26+t17+281+73+305)+31014 97a2+37+hy+12 )+32 )3+7b GUa)+4/(xn)+2/(x)+1( (72+÷(20+0b+9+b)+2(a2+3xb+3b3+b 7b3)+7b] .45:45 8 16(2k+1) 8k 确鱼为+= n(4+x2)=-ln-z0.ll157 b-c y+12“+b =10:(略 「7a4+-(81a4+103x3b+54x2b2+12ab3 [解](咯),精确值为[√x b-a=「x2dx sindo 3,自接验让利特斯公式(2.4冫只有5次代数精度 b=-ana3+32(30+b 2()3+7b] 证明]显然节点为a.+ba+ba+b,分别取f(x)-1,x,x,x,x2,x,x“代入 9q5+1(2435+405ab+270a2b2+90m2b3+15ab4+b3) 得到:9+7+32+12+2+1-b-a-1 +g(+5b+10b2+10ab+5b+b) 【7G+32(4)-12x9+y)+32“+ +(a3+l5ab+9)a3b2+270x2b3+405ab4+243)+7b’」 7a+32(+b)+0(a+b)+7b] rdx N=(50+15b+150b2+15b2+13+15b) (u-Dia+2u'in' b-a7a"+32(-c f()t=[ )+f() )]r b2+15n'b f"n)(b-a)2 (a3+18a3b+135ab+540ab+1215ab+1458ab+729b")+7b1 6、证明梯形公式:29)与辛普麻公式:21)当n→收到积分f(r)h 825 + 5+=ah 「证明]由i-T= b-a 7)= b-a5-“f(n 122f()与 从而此求积公式最高具有5次代数精度。 15=-()r“m2=(2) r()=(b-a) 2802f4(n)可得求证 4、用辛森公式求积分e"ax并估计误差 b=()+r1a+b 7、用复化梯形公式求积分f(x)h,问要将积分区可4分成多少等分,才能保证 f(b)=-[J(0)-4J +1 +f() 误差不超过c(设不计舍入误差) [解 6(+4+c)-6(1+242612+0.36789×0.6323 f"(7)可知,令 18016 16 M-m),则y-x1gnM≤,从n、{2 5、推导下列三种矩形求积公式:Cf(xdA=f(a)(b-c)+ 8、用龙贝格方法计算积分 f()k-16-a1-22(6-a),(x- ∽Je-ax,要求族差不超过10 xb-a)+ 解]由微分口值定理有:f(x)-f(a)+f'(m)(x-a),从而 解]由:2(h 2 一Tn1(h)及尺n()-O可得.(参见95页 ∫(x)t-(a)+(Xx-a)a-U(a)x ) 卫星轧道是一个椭园,椭圆周长的计算公式是S=a 1(a)m,这 r(a-u)-i(n(-w) 是椭圆的半长轴,c是坦球中心与轨道中心、椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H 为远地点距离,R-6371公里为地球半经,则M=(2R+H+h)12,c=(H-h)/2。 庄微分中值定理有;f(x)=f(b)+f()(x-b),从而 我匡第一颗人造卫星近地点距高h=439公甲,坻点距离为2384公聿,试求卫星道 的周长 「八(k=-to+/g)()x+m(x=b 解]a2B+H+h_2×6371+2384+439-782.5, (bVb-a)-0(-4)2 H-h2384-439 =972.5 由微分中值定理有,f(x-1(+)+1(2bx-+)+(x-2+),从前 S sin'd=7782 sindo 0.证明等式nsin2 试依据nsi(a=3,6,12)的值,用外 芹为(x439,24=08 准算法求x的近似值。 f'(x1)= -0.25+0.20 217,误差为 证明]因为(3)=3mn 0,T(6)=6sin-=3 .12 (x 一x 24=0.04 n(12)=12sn,= )=3.1058,庄 [O.25-4×0.2268+3×0.2066]=0.187 1(h)可得, 诉若为M(x2=2x 1+5=3×24=008 T(6)=3 72(3)-=(6) x3=2.464, 由五点公式可知 r(12)=7(6)-T(12)=x3-×3.1058=296 f(so) 一[25×0.25-48×0.2268-36×0.2066+16x0.189-3×0.1736 72(12)=7(6)-,71012)=:×2.404-x2.9647=2.43062 [-6.25+10.8864-7.4376+3.024-0.5208]=-0.2483 用卜列万法计鲜积 x1) [-3×0.25-10×0.2268+18×0.2066-6x0.189+0.17 )见贝格方決:(2)=点及五点高斯公式 3)将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式。 12075-2268+3.7188-14+01730=02103 解=ly=1m3=10986 2、用三点公式和五点公式求((x(1+x) 在x=1.0.1.1和1.2处的导数恒,并告 [0.25-18144+1.512-0.1736]=-0.883 灰差,f(x)的值由下表给出 计算[1]上的积分=」fxdr的两点求积公式 f(x)0.25000.2280.2060.1900.1736 解]求积公式的代数后度不超过2n+1=3,均求积公式xa,x1和求积系数an,作为4 解]由一点公式∫(x)=[-3f(rc)+4f(x1)-f(x2)+∫"() 个待定系数,依次取被积函数f(r)为1x,r2,x2代入求积公式,得到方程组 x1)=[-f(x)+f(x2)-f"() 4=2 u+O=0 2,可以解得 从而求积公式为 Lf(x0)-4f(x1}+3fx2)+-f"(5)可知 f'(x)=-[-3x0.25+4×0.2268-0.2066]=-0.247 f(xndxsji-v5,+f( +b2] 直拔验正梯形公式()=,U()+(与中短形公式 「((-a(=21有一次代数度,面辛普牛公式 /(a)+ 4a+/()=3arn4,(a-b)2 D-“×3(a3+a2h+ah2+b2) [证明](1)依次将∫(x)=1,x,x代入梯形公式口,得到; b%()+42+f勺-n1n+4x2+h 7+b 从向辛普生公式具有三次代数精度 3、求近似求积公式f(x)d12/()-()+2(的代数猜度 (a)+(b)=b-2(a2+b) ab + a 解]依次将∫(4)=1,.s2,x2,x4代入求积公式口,得到 rdr 从酝梯形公式具有一次代薮精度。 [2f()-f()+2f() (2)依次将f(x)=,x,x代入十矩形公式中,得到 g2/()-yf()+2f(3)=!(2x1-1×1+2×3)=1 (b-a)×=b-a=|lcr 2/-=2+2()={2x(2-1x)+2x(2== 37 「2f(1-f(-)+2f(-)--「 因此所给求积公式具有三次代数精度。 =(b-a) 4、求三个不同的苄点x1≤x2≤x1常数C,使积公式 从而中矩肜公式具有一次代数精 f(x)t=CLf(x)+∫(x1)+f(x2)具勻尽可能高的代数度 (3)依次将∫(x)=1,x,x2,x3,x“代入辛替生公式中,得到 [解]依次将f(x)=1,x,x2,x2,x代入求积公式冖,得到 b-a [f(a)+4f +f(b)= f(bI CO x )=0=x2k

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