双曲线在解析几何中是重要的数学概念，常出现在高中阶段的数学学习，特别是高考复习中。双曲线的特性包括标准方程、渐近线、离心率和焦距等核心知识点。
1. **渐近线**：双曲线的渐近线是双曲线接近但不相交的直线，它的方程可以通过主轴上的渐近线公式得出，即y = ±(b/a)x。在题目中，双曲线C1和C2有相同的渐近线意味着它们的渐近线斜率的绝对值相等，即ba = 2。
2. **离心率**：双曲线的离心率e是描述双曲线形状的重要参数，它定义为半焦距c与半实轴长a的比值，即e = ca。离心率越大，双曲线的形状越扁平。题目中提到，如果离心率为3，则有b = 2a，同时c² = a² + b² = 5a²，解得b = 2a，从而求出离心率e = √(1 + b²/a²) = 3。
3. **焦距和双曲线方程**：焦距2c是焦点到中心的距离，通过双曲线的标准方程x²/a² - y²/b² = 1可以计算得到，c² = a² + b²。例如，题目中双曲线C2的焦距为45，可以解出a和b的值。
4. **点到双曲线的距离和切线问题**：点P到双曲线的切线长度可以通过双曲线的焦半径公式或利用平面几何的方法来解决。在题目中，|PM|² - |PN|²的最小值可以通过不等式性质和双曲线的定义求解。
5. **双曲线的截距和比例关系**：在题目的第五个例子中，根据|AB| : |BF2| : |AF2|的比例，可以推断出BF1垂直于BF2，并进一步求解双曲线的离心率。
6. **双曲线的焦半径公式**：|PF1| - |PF2| = 2a是双曲线的基本性质，它帮助我们计算点P的坐标，例如在第六个题目中，利用这一性质和勾股定理可以找到点P的横坐标。
7. **渐近线与焦点的夹角**：第七题考察的是双曲线渐近线与焦点形成的角的范围，这涉及到渐近线的斜率与离心率的关系，以及角度的三角函数表示。
8. **双曲线的定义和距离之和**：双曲线的定义指出，点P到两个焦点的距离差等于实轴的长度。题目中的第八题结合了双曲线的定义和圆的性质，通过距离和的平方求解距离和。
9. **双曲线的交点与焦半径**：第九题中，双曲线C与圆的交点P满足双曲线的焦半径公式，结合圆的几何性质可以求解|PA| + |PB|的值。
通过以上分析，我们可以看到，双曲线的相关知识涵盖了从基本方程到复杂几何性质的多个方面，对于理解和解决相关问题至关重要。在备考过程中，学生需要对这些概念有深入的理解并能够灵活应用。
