2021高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第2节空间点直线平面之间的位置关系练习

立体几何与空间向量是高中数学中的重要章节，主要研究空间中点、直线和平面之间的位置关系。在高考复习中，这一部分的知识点是必不可少的。以下是对这部分内容的详细阐述： 1. **直线与直线的位置关系**： - 直线a和直线b在不同平面α和β内，如果它们相交，意味着它们有一个公共点，这会导致平面α和β也相交。反之，如果α和β相交，a和b可能相交、平行或异面。因此，“直线a和b相交”是“平面α和β相交”的充分不必要条件。 2. **直线与平面的位置关系**： - 如果四点A、B、C、D不共面，那么直线AC和BD不相交，因为它们不能在同一平面上。反之，如果直线AC和BD不相交，它们可能不共面，也可能平行，因此四点可能共面。这意味着“四点不共面”是“直线不相交”的充分不必要条件。 3. **平面与平面的位置关系**： - 通过三角形重心的性质，可以推断出在三棱锥S-ABC中，若G1和G2分别是△SAB和△SAC的重心，那么直线G1G2与BC平行。这是因为重心到对应边的中点的比例是2:1，从而保证了G1G2与BC的平行性。 4. **异面直线的计数**： - 在正方体中，每条棱可以与其他3条棱形成异面直线对。由于正方体有12条棱，因此异面直线对的数量是12×3/2=18对，但每对被算了两次，所以实际异面直线对数是18/2=9对。题目中提到的“排除两棱的重复计算”，意味着我们只考虑每一对一次，因此是12×4/2=24对。 5. **异面直线所成角的求解**： - 在三棱锥A-BCD中，当所有棱等长时，可以通过中点构造平行线来确定异面直线所成的角。例如，设异面直线BM与AN，可以通过余弦定理计算它们所成角的余弦值。 6. **翻转问题**： - 当将△DAP绕直线DP翻转时，可以利用平行线和中点性质来确定新的位置关系。例如，异面直线BM与PA'所成角可以通过平行四边形的性质找到。 7. **动态几何问题**： - 在正方体中，随着动点E、F、P、Q的变化，可以分析出某些性质是不变的。例如，异面直线EQ和AD1所成的角并不受点E和F的具体位置（用x表示）以及P和Q的位置（用y和z表示）的影响。 这些题目涵盖了空间几何的基本概念、性质和推理方法，包括位置关系的判断、异面直线对的计数、角的计算以及动态几何问题的处理。在高考复习中，理解并熟练掌握这些内容对于解答相关题目至关重要。