【知识点详解】
1. **命题的基本概念**
- 命题是数学中表达一个事实或判断的陈述，可以被证实为真或假。
- 命题的否定是改变命题的真假性，比如“若a＞b，则2a＞2b”的否定是“若a＞b，则2a≤2b”。
2. **命题的四种形式**
- 原命题：初始提出的陈述，如“若a＞b，则2a＞2b”。
- 否命题：同时否定原命题的条件和结论，如“若a≤b，则2a≤2b”。
- 逆命题：交换原命题的条件和结论，如“若2a＞2b，则a＞b”。
- 逆否命题：否定原命题的条件和结论，并交换位置，如“若a≤b，则2a≤2b”。
3. **命题的真假性**
- 命题的真假性可以通过逻辑推理或实例验证来确定。例如，“若x＞1，则p”为真，那么p不能是x＞2，因为x＞1并不必然导致x＞2。
4. **不等式的性质**
- 不等式两边同时乘以正数，不等号方向不变；乘以负数，不等号方向改变。例如，a＞b可以推出2a＞2b。
- 平行线的性质：如果a⊥α，b⊥β，那么a∥b可以推出α∥β；反之，若α⊥β，a，b必不平行。
5. **命题的集合**
- 真命题是指符合事实或逻辑规则的命题，如“北京是中国的首都”。
- 假命题是不符合事实或逻辑规则的命题，如“若α，β相交，则a，b相交”，因为两平面相交并不一定意味着垂直于它们的直线也相交。
6. **命题的真假判断**
- 判断命题真假需要分析条件和结论的关系，例如，对于“若ab是奇数，则a，b都是奇数”的逆否命题是“若a，b不都是奇数，则ab不是奇数”，这在逻辑上是正确的。
7. **不等式解集的性质**
- 关于x的不等式x²+(2a+1)x+a²+2≤0的解集非空，意味着存在至少一个x使得不等式成立，当a≥1时，判别式Δ=(2a+1)²-4(a²+2)≥0，表明不等式有实数解。
8. **命题的逆否命题**
- 命题的逆否命题是对原命题条件和结论的双重否定并交换，如“如果a，b为实数，如果x²+(2a+1)x+a²+2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题是“如果a<1，则x²+(2a+1)x+a²+2的解集为空”。
9. **命题的真假判断与逆命题、否命题、逆否命题的关系**
- 一个命题和其逆否命题真假性相同，而原命题和其逆命题真假性没有直接关系。
- 例如，"若xy=1，则x，y互为倒数"的逆命题是真命题，否命题是假命题，逆否命题也是真命题。
10. **几何命题的证明**
- “a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”是一个几何定理，可通过构造辅助线和利用平面几何性质证明其真实性。
11. **逆命题的构造**
- 上述命题的逆命题是：“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b”。
通过对这些知识点的详细解析，我们可以看到，命题及其相关概念在高中数学中占有重要地位，涉及到逻辑推理、不等式性质、几何定理等多个方面，这些都是理解和解决数学问题的基础。
