计算机控制系统是现代工业自动化的核心，其数学基础是理解与设计这些系统的关键。本课件主要讲解了计算机控制系统的几个核心概念，包括计算机控制系统的信号变换、数学描述、模拟化设计方法以及采样定理。
计算机控制系统的信号变换涉及连续信号的采样和量化。采样是将连续信号转化为离散时间信号的过程，通过在特定时间点获取信号的瞬时值。例如，图1描绘了采样过程，其中采样信号由一系列单脉冲组成，每个脉冲的幅值对应于采样时刻的连续信号值。量化则是将这些离散的模拟信号转换为数字信号，这个过程中，信号的幅度被近似为一组数码（通常为二进制）。采样定理规定了采样频率至少应该是信号最高频率的两倍，以避免频谱重叠，确保采样信号能反映原始信号的细节。
接着，采样信号的复现和采样保持器的角色不容忽视。保持器，尤其是零阶保持器，利用恒值外推原理，将采样点间的信号进行插值，将离散的采样信号转换为连续的阶梯信号。这对于系统响应的连续性至关重要。
计算机控制系统的数学描述通常采用Z变换，它是离散时间信号分析的重要工具。Z变换定义了输出采样函数与输入采样函数的比例关系，类似于连续系统中的拉普拉斯变换。脉冲传递函数和差分方程是描述离散系统动态特性的两种主要方式，它们可以互相转换。差分方程直接描述了系统输出如何随输入变化，而脉冲传递函数则反映了系统对脉冲输入的响应。
在S平面到Z平面的映射中，s平面的虚轴映射到z平面的单位圆，左半平面映射到单位圆内。系统动态响应特性与Z平面上的极点位置密切相关。极点靠近原点意味着快速的响应，而极点远离原点可能导致振荡。复极点的位置影响系统的稳定性及响应速度。
在设计计算机控制系统时，通常采用模拟化设计方法，步骤包括设计模拟控制器、选择采样周期、离散化设计、性能检验以及编程实现。采样周期的选择受到多种因素影响，如系统性能要求、执行机构特性、计算机工作负载和精度等。采样频率需要大于等于香农采样定理规定的最小值，同时还需要兼顾控制系统的实时性、稳定性和计算效率。
计算机控制系统的数学基础涉及到信号的采样、量化、复现、数学模型以及设计方法。深入理解这些概念对于设计高效、稳定的控制系统至关重要。
