离散数学图论PPT学习教案.pptx

离散数学中的图论是研究图的性质和结构的一个重要领域。在计算机科学中，图论有着广泛的应用，如网络设计、数据结构、算法分析等。以下是对离散数学图论的一些基本概念的详细解释： 1. **无向边与有向边**：无向边与结点构成无序对，表示两个结点之间的双向连接，记为 `(u, v)`；有向边则对应有序对 `<u, v>`，表示从 u 到 v 的单向连接。 2. **端点**：边的两个端点，对于无向边，u 和 v 是两端点；对于有向边，u 是始点（弧尾），v 是终点（弧头）。 3. **邻接点**：如果两个结点之间存在边，那么它们是邻接点；否则，它们是不邻接的。 4. **邻接边**：关联同一个结点的两条边。 5. **自回路**或**环**：连接到同一结点的边。 6. **孤立结点**：不与其他结点相邻接的结点。 7. **零图**：仅包含孤立结点的图。 8. **平凡图**：只包含一个结点的零图。 9. **(n, m) 图**：包含 n 个结点和 m 条边的图。 10. **无向图**：所有边都是无向的。 11. **有向图**：所有边都是有向的。 12. **混合图**：同时包含有向边和无向边的图。 13. **平行边**：在有向图中，起点和终点相同的多条边；在无向图中，连接相同两个结点的多条边。重数表示平行边的数量。 14. **多重图**：包含平行边的图。 15. **线图**：没有平行边的图。 16. **简单图**：无自回路的线图。 17. **赋权图**：图 G 可以被赋予权重，即三元组 `<V, E, g>` 或四元组 `<V, E, f, g>`，其中 g 是边的权重函数。 **度数**是图论中的核心概念之一，它描述了一个结点与其他结点连接的程度： - **无向图**中的度数 `deg(v)` 表示与结点 v 相邻接的边的数目。 - **有向图**中分为出度 `deg+(v)`（以 v 为始点的边数）和入度 `deg-(v)`（以 v 为终点的边数），总度数 `deg(v)` 是出度与入度之和。 在图 G 中，最小度数 `δ(G)` 是所有结点中最小的度数，最大度数 `Δ(G)` 是最大的度数。 **定理**揭示了图中度数的统计规律： - 在无向图中，所有结点的度数之和是边数的两倍。 - 在有向图中，所有结点的出度之和等于所有结点的入度之和，总和也是边数的两倍。 **奇偶度定理**指出，在图中，度数为奇数的结点个数一定是偶数。 这些基本概念和定理构成了图论的基础，是理解和研究更复杂图论问题的关键。例如，最小路径问题、最大匹配问题、图的遍历等都建立在这些基础之上。通过深入理解这些概念，可以更好地解决实际问题，如网络路由、数据索引和社交网络分析。