在1985年发表的这篇论文中，作者王志雄从应用数学的角度，探讨了矩阵的迹（trace）与经典的平均不等式之间的类比关系。文章证明了对于某些特定的矩阵类，存在类似于算术平均与几何平均之间的不等式关系，并利用这一结果推导出了其他几个已知结论，从而部分回答了先前研究中提出的问题。本文将详细解读文中的主要概念和证明过程。
文章提出了一个核心定义——迹k-可换矩阵类。一个矩阵类如果其中任意k个矩阵的乘积的迹与这些矩阵的乘法顺序无关，则称该矩阵类是迹k-可换的。举例来说，所有的同阶矩阵类都是迹2-可换的，因为矩阵乘法满足交换律tr(XY) = tr(YX)。但对于k大于2的情况，矩阵乘法并不总是迹k-可换的。文章通过一个具体的例子说明了这一点：如果取三个2x2的矩阵A、B、C，并计算tr(ABC)与tr(BAC)，可以发现结果不相等，因此一般的矩阵类不是迹3-可换的。
接下来，文章定义了封闭的矩阵类。如果一个矩阵类对于任意的正整数p和任意矩阵A，都存在唯一矩阵P和Q，使得P的p次幂等于A，且Q的p次幂等于Q，那么该矩阵类被称为封闭的。一个典型的例子是实对称半正定矩阵类，它对于任意正整数p都有唯一p次方根存在。封闭矩阵类在数学分析中具有重要意义，因为它们在一些特定条件下包含了矩阵的唯一性。
文章还介绍了一个重要的概念——迹代数可换矩阵类。如果一个矩阵类既封闭又是迹k-可换的，那么它被称为迹代数可换的。文中给出了两个迹代数可换矩阵类的例子，分别是主对角线元素为非负实数的同阶上三角或下三角矩阵全体组成的类，以及主对角线元素为非负实数的同阶对角矩阵全体组成的类。由于这些矩阵类满足实数乘法的交换律，所以它们都满足迹代数可换的性质。
在证明主要结果之前，文章介绍了一些基础引理。引理1表明同阶的对称矩阵组成的类是迹3-可换的，但对于迹4-可换则不成立。引理2和引理3则分别对封闭矩阵类的性质进行了阐述，包括了实对称半正定矩阵类和主对角线元素为非负实数的上三角（或下三角）矩阵类。这些引理的证明为后续主要结论的推导提供了理论支持。
文章的主体部分证明了一个关键的结论：在迹代数可换矩阵类中，存在类似于经典的几何平均与算术平均不等式的关系。具体而言，对于若干个同阶矩阵A1, A2, ..., An，不等式tr(A1A2...An) < tr(A1) + tr(A2) + ... + tr(An) 成立。这个结果部分地回答了R.Bellman在参考文献[1]中提出的问题。
为了完善证明，文章还引入了几个关于矩阵性质的引理。例如，引理4表明对于任意k阶Hermite正定矩阵A，如果T是非奇异矩阵，则T*AT也是正定的。引理5则指出对于Hermite半正定矩阵，其迹为0当且仅当该矩阵为零矩阵。
综合以上概念和定理，王志雄在文章中不仅推广了经典数学不等式到矩阵领域的结果，而且还为矩阵分析的理论研究提供了新的视角和方法。这对于理解矩阵的乘法性质、矩阵方程的求解以及矩阵类的结构分析等方面具有重要的意义。通过这些细致的定义和证明，我们可以看到数学之美和严谨的逻辑推理所展现出来的力量。
