非线性转子—轴承系统的周期解及近似解析表达式 (2004年)
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收稿日期:2002-12-20;修改稿收到日期:2 00 3-06-23.
基金项目:国家自然科学基金(重大 19990510)资助项目 .
作者简介:李德信
*
(1965-),男,副教授,博士;
徐建学 (1933-),男, 教 授 ,博士生 导师 .
第21卷第5期
2004 年 10 月
计算力学学报
Chinese Jour nal of Computational M echanics
Vol
.21,
No
.5
O ctob er
2004
文章编号:1007-4708(2004)05-0557-07
非线性转子-轴承系统的周期解及近似解析表达式
李德信
*
, 徐健学
(西安交通大学 建筑与力学学院,陕西 西安 710049)
摘 要:通过对普通打靶方法进行改造提出一种确定非线性系统周期轨道及周期的新型打靶算法。首先通过改
变系统的时间尺度,将非线性系统周期轨道的周期显式地出现在非线性系统的系统方程中,然后对传统打靶法
进行改造,将周期也作为一个参数一起参与打靶法的迭代过程,迭代过程包含对周期轨道和周期的求解,迭代过
程中的增量通过优化方法选择,从而能迅速确定出系统的周期轨道及其周期。应用所求的结果结合谐波平衡方
法求得了非线性系统的周期轨道的近似解析表达式,理论上通过增加谐波的阶数任何精度的周期解都可以得
到。最后将该方法应用于非线性转子轴承系统,求出了在某些参数下转子的周期解及其近似解析表达式,通过与
四阶
Runge
-
Kutta
数值积分结果比较,验证了方法的有效性,计算结果对于转子系统运动的定量控制有重要理
论指导意义。
关键词:非线性;打靶法;周期解;转子系统;谐波平衡方法
中图分类号:
TH
113.21 文献标识码:
A
1 引 言
随着现代旋转机械,如气轮机发电机组、航空
发动机等不断向高转速、高效率方向发展,对转子-
轴承系统的运动稳定性以及运动的有效控制越来
越受到人们的重视。滑动油膜轴承对解决高速转子
的振动和稳定性具有良好的效果,所以高速转子大
都采用滑动油膜轴承。由于油膜力的强非线性和复
杂性给理论分析带来了很大的困难,有关转子系统
的许多问题得不到深入研究。非线性油膜支撑的转
子系统是近年来在振动及转子动力学领域内研究
的主要问题,引起了国内外转子动力学和振动研究
界的高度重视。对转子-非线性油膜轴承系统轴心
轨迹的计算,在数学上难以得到封闭解。虽然一些
文献研究过轨道的解析表达式的具体求解方法,但
都较花费计算机机时和内存。
确定非线性系统周期解的方法是在非线性研
究领域中很重要的研究领域之一,因为它与许多技
术上的重要问题相联系,例如稳定性、分岔、混沌等
问题。由于非线性系统的特殊性和复杂性,线性系
统的许多理论已经不再适合于研究非线性系统。近
年来许多学者对于周期运动从不同角度进行了大
量研究,获得了许多有效的方法。文献[1,2]中提出
了谐波平衡法,文献[3-5]中提出了摄动方法、打靶
法等。由于经典的摄动方法仅适用于弱非线性系
统
[6 ]
,普通打靶法一般仅适用于周期已知求响应
(固定边值问题)或已知响应求周期(自由边值问
题)问题
[7]
。这些方法可以分为两类即时域方法和
频域方法。定量分析方面采用以摄动和渐近法为代
表的近似方法,诸如 K BM 法、多尺度法、平均法
等,其优点是通过少量的计算就可以得到解的有关
性质及其与一些参数之间定量关系的概貌,但这类
方法需要依赖小参数假设且精度不高,仅适用于弱
非线性系统。随着计算机技术的发展和应用,通用
性的、高精度的数值计算方法大量出现,适用于非
线性系统定常运动的数值计算方法有
Garlerkin
法、C hebyshv 法、胞影射方法、传统的摄动方法、打
靶法等。对于非自治系统,其周期一般情况下与激
励的周期存在某种关系,用上面提到的方法可以求
解,如果存在与激励完全无关的周期解,那么其求
解方法就会存在一定的困难。自治系统如果存在周
期解,其周期是多少、如何迅速求出就是一个问题。
当然可以通过 R -K 数值积分按一定的时间步长来
求得周期,但这样会存在一定的盲目性,且所求周期
解的周期
T
的误差与所选择的积分步长有关系。
为了克服上述的一些缺点,本文通过对普通打
靶法进行改造,通过时间尺度的改变使非线性系统
周期轨道的周期显式地表达在系统方程中,将周期
也作为一个参数,一起参与打靶过程,从而获得了
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