通俗易懂！视觉slam第六部分——旋转向量，欧拉角
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2021-01-20
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通俗易懂！视觉通俗易懂！视觉slam第六部分第六部分——旋转向量，欧拉角旋转向量，欧拉角
矩阵表示方式还有很多缺点：
1.SO(3) 的旋转矩阵有九个量，但一次旋转只有三个自由度。因此这种表达方式是冗余的。同理，变换矩阵用十六个量表达了六自由度的变换。
2. 旋转矩阵自身带有约束：它必须是个正交矩阵，且行列式为 1。变换矩阵也是如此。当我们想要估计或优化一个旋转矩阵/变换矩阵时，这些约束会使
得求解变得更困难。
对于坐标系的旋转，我们知道，任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。于是，我们可以使用一个向量，其方向与旋转轴一致，而长度等于
旋转角。这种向量，称为旋转向量（或轴角，Axis-Angle）。这种表示法只需一个三维向量即可描述旋转。同样，对于变换矩阵，我们使用一个旋转向
量和一个平移向量即可表达一次变换。这时的维数正好是六维。
旋转向量就是李代数。剩下的问题是，旋转向量和旋转矩阵之间是如何转换的呢？假设有一个旋转轴为 n，角度为 θ 的旋转，显然，它对应的旋转向量
为 θn。由旋转向量到旋转矩阵的过程由罗德里格斯公式（Rodrigues’s Formula ）表明，由于推导过程比较复杂，我们不作描述，只给出转换的结果 ：
符号∧是向量到反对称的转换符。反之，我们也可以计算从一个旋转矩阵到旋转向量的转换。对于转角 θ，有（因为这里n为单位向量）：
关于转轴 n，由于旋转轴上的向量在旋转后不发生改变，说明Rn = n.
因此，转轴 n 是矩阵 R 特征值 1 对应的特征向量。求解此方程，再归一化，就得到了旋转轴。
欧拉角：欧拉角：
旋转矩阵、旋转向量，虽然它们能描述旋转，但对我们人类是非常不直观的。当我们看到一个旋转矩阵或旋转向量时，很难想象出来这个旋转究竟是什
么样的。当它们变换时，我们也不知道物体是向哪个方向在转动。而欧拉角则提供了一种非常直观的方式来描述旋转——它使用了三个分离的转角，把
一个旋转分解成三次绕不同轴的旋转。
欧拉角当中比较常用的一种，便是用“偏航-俯仰-滚转”（yaw-pitch-roll）三个角度来描述一个旋转的。欧拉角的一个重大缺点是会碰到著名的万向锁问题
（Gimbal Lock x ）：在俯仰角为±90 ◦ 时，第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴，使得系统丢失了一个自由度（由三次旋转变成了两次旋转）。这
被称为奇异性问题，在其他形式的欧拉角中也同样存在。理论上可以证明，只要我们想用三个实数来表达三维旋转时，都会不可避免地碰到奇异性问
题。
作者：cold星辰
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