《数学杂题选讲》是由黄哲威编著的一本数学教材，主要涵盖了数学和概率论领域的各种问题和解析。这本书对于理解复杂概率概念、解决实际问题以及提高数学思维能力非常有帮助。以下是对其中一些关键知识点的详细阐述：
1. **马尔可夫链**：马尔可夫链（Markov chain）是一种随机过程，它的特点在于系统未来的状态只依赖于当前状态，而不受过去历史状态的影响。在数学杂题中，马尔可夫链常用于模拟和预测系统的动态行为，如在ATM机问题中可能出现的状态转移。
2. **概率悖论**：概率悖论是指在概率理论中看似违反直觉或常识的现象。书中可能介绍了类似“蒙提霍尔问题”（Monty Hall problem）这样的悖论，该问题展示了在不完全信息下的最优决策策略，即在已选择的门后添加额外信息时，改变最初选择能增加获胜概率。
3. **随机转移状态机**：随机转移状态机是用概率描述状态转换的模型，广泛应用于计算机科学和控制理论。在解题过程中，它可以帮助分析系统在不同状态间的概率流动。
4. **分解质因数**：分解质因数是将一个合数表示为几个质数的乘积，是数论中的基本操作。在NOIP2014和SDOI2012的竞赛题目中，这个问题可能涉及到高效的算法设计和数学技巧。
5. **不完全观测**：在处理不确定性时，不完全观测是指我们无法获取全部相关信息，导致对系统状态的判断具有不确定性。例如，量子力学中亚原子粒子的行为以及蒙提霍尔问题，都是这种现象的例子。
6. **不完全建模**：在建立模型时，我们往往需要忽略一些细节或简化问题，这可能导致模型预测的不确定性。如书中机器人的例子，离散化空间导致了位置预测的不确定性。
7. **概率推理**：几乎所有的决策和推理过程都需要在不确定性下进行，这需要运用概率论的工具。例如，通过贝叶斯定理进行条件概率的更新，或者通过最大似然估计来推断参数。
这本书不仅适合对数学和概率论感兴趣的学生，也适用于那些希望通过解决实际问题来提升自己数学技能的读者。通过深入学习和理解这些概念，读者可以更好地理解和应用概率论，解决现实生活中的各种问题，特别是在面对不确定性时做出明智决策。
