图的连通性是图论中的一个重要概念，特别是在有向图中。有向图的连通性分为强连通和弱连通。强连通图指的是图中的任意两个节点之间都存在双向的路径，即从每个节点都能到达其他任何节点。而弱连通图则只要求图中任意两个节点间存在双向的路径，但路径允许经过其他节点。
强连通分量是无向图中的最大强连通子图，即图中最大的子集，其中的每个节点都可以通过有向边到达其他任何节点，同时也能被其他节点通过有向边到达。在给出的例子中，1,2,4,5,6,7,8 构成了一个强连通分量，而3,9各自单独构成强连通分量。
Tarjan算法是用于寻找有向图中强连通分量的有效方法，由Robert Tarjan提出。该算法基于深度优先搜索（DFS）策略，在遍历过程中维护了三个关键信息：dfn（深度优先搜索的访问顺序，时间戳）、low（可达性最低的时间戳）以及一个栈，用于保存未归类的节点。当dfn[u]等于low[u]时，表示节点u是一个强连通分量的根，因为low[u]反映了从u或以u为根的子树中能到达的最远节点的时间戳。
在DFS过程中，算法会根据遍历到的新节点v与当前节点u的关系更新low[u]。如果u通过树边到达v，则low[u]取两者low值的最小；如果通过反向边或满足特定条件的横叉边到达v，则low[u]更新为dfn[v]。
割点和桥的概念通常应用于无向图中。割点是指删除该点及其相邻边后会导致图的连通分量数量增加的节点。桥则是指移除后同样导致连通分量数量增加的边。割点不一定会导致桥出现，但有桥必然存在对应的割点。在无向图中，可以通过删除节点或边来判断是否为割点或桥，而有向图的判断需要额外考虑反向边。
对于题目中的应用，例如"受欢迎的牛"问题，可以通过构建有向图并应用Tarjan算法求得强连通分量。如果缩点后有出度为0的节点且只有一个，表示存在唯一解决方案；否则，问题无解。另一个问题是"Proving Equivalences"，需要计算添加最少的边使图强连通，答案是出度为0的连通块数量和入度为0的连通块数量中的较大值。在处理这类问题时，可以考虑将出度为0的节点连接起来形成环。
图的连通性分析在实际问题中有着广泛的应用，如社交网络分析、网络路由设计等，而Tarjan算法提供了一种有效解决强连通分量问题的工具。理解并掌握这些概念和算法对于理解和解决相关问题至关重要。
