在数学和物理学领域，微分方程是一种强大的工具，用于描述各种现象，如物理系统、生物过程和工程问题中的动态变化。本文所探讨的是一类具阻尼的广义IMBq方程初边值问题的局部广义解的存在性和唯一性，这类问题在数学物理中占有重要地位。
要明确什么是常微分方程的Green函数。Green函数是解决偏微分方程边界值问题的一种方法，它是通过将边界条件转化为积分方程来实现的。Green函数具体定义为在给定的微分算子和边界条件下的一个函数，它能够将边界值问题转化为一个等价的积分方程问题。
文章提到的广义IMBq方程是一类非线性发展方程，其中包含未知函数的时间和空间导数，以及非线性函数g(s)和f(s)。方程中的α、β和r是常数，分别代表不同的物理参数。初边值问题涉及到的是，在一定的边界条件和初始条件下求解偏微分方程。
为了研究广义IMBq方程的初边值问题，作者采用了压缩映射原理。压缩映射原理是一种重要的数学工具，广泛应用于函数空间中，特别是在证明解的存在性和唯一性时。如果一个算子可以被视为一个压缩映射，那么根据Banach不动点定理，这个算子将有唯一的不动点，这个不动点即对应于方程的解。
文章中所用到的积分方程实际上是一种间接求解偏微分方程的手段。积分方程把原问题转换为与之等价的积分形式，从而允许在不同的数学框架下研究和求解问题。
初边值问题描述的是在区域的边界上以及初始时刻给定的条件下，如何找到微分方程的解。初边值问题的解的存在性和唯一性是数学物理领域研究的重要课题，因为这关系到方程模型是否能够正确描述物理现象。
具体到本文提到的广义IMBq方程初边值问题，其局部广义解的研究具有重要意义。局部广义解是指在时间t的一个有限局部范围内，存在一个满足方程和初始-边界条件的解。这种局部解的存在性可以让我们理解物理过程在一定条件下的局部行为。
文章中还提到了Boussinesq方程的几种不同形式，这些方程是流体力学中描述弱耗散介质中波动传播的方程。其中Bq方程是基本形式，而IBq方程和IMBq方程则是对Bq方程的改进和修正。这些方程是通过引入非线性项来描述更复杂的物理现象，如流体在介质中传播时的非线性特性。
韩欲青的文章通过使用Green函数和压缩映射原理，深入探讨了具阻尼的广义IMBq方程初边值问题，提供了局部广义解存在唯一性的证明，并且涉及了Boussinesq方程的相关形式，这为理解和发展数学物理模型提供了理论支持。这些工作对于物理学、数学和其他科学领域中解决类似的非线性偏微分方程问题有着重要的影响。
