在2010年发表的论文《一类Liénard方程Poincaré分岔极限环的不存在性》中，吕宝红深入探讨了关于Liénard方程的Poincaré分岔理论，特别是一类广义Liénard方程在Poincaré分岔下极限环不存在性的条件。Liénard方程是一类广泛应用于物理学、生物学、电子工程和力学中非线性振动问题的微分方程，它涉及弹性恢复力和阻尼力。本文的工作主要集中在Poincaré分岔问题上，即在非线性动力系统中，当参数变化时，系统出现新周期解的行为。分岔理论是研究这种现象的数学框架。
本文利用了一阶Mel'nikov函数来研究方程x''+sf(x,X)x'+g(x)=0的Poincaré分岔，其中s是一个小参数。Mel'nikov函数是动力系统中分析混沌和分岔现象的重要工具，它能够提供关于系统解的全局信息。在分岔理论中，一阶Mel'nikov函数通常用来检测和判定极限环的存在性。本文通过该函数导出两个主要的充分条件，这些条件在特定参数下确保了极限环的不存在性。此外，文章还给出了一些判别准则。
在进行讨论之前，文章通过两个必要条件来假设方程的基本形式。函数xg(x)必须在考虑的区间内大于零，即系统具有恢复力；需要假设函数G(x)在区间上是有定义的。在这些条件下，作者进一步讨论了方程的闭轨族，即系统在相空间中周期性的轨道。
文章引入了一个关键的引理，该引理指出，对于一类方程，闭轨的必要条件可以通过研究特定函数的零点来获得。这个引理为寻找极限环不存在的条件提供了理论基础。作者展示了如何通过变换和函数的单调性来判断极限环的存在性，这些步骤涉及对函数特定值的分析以及在参数空间中对解行为的定性分析。
进一步地，文章通过研究函数的特定形式及其导数的性质，结合一阶Mel'nikov函数方法，详细讨论了极限环不存在性的充分条件。文章还提出了通过特定不等式和条件来确保不产生闭轨的数学证明，给出了临界参数值的界定。这些条件和准则对于理解和预测在不同参数值下系统的动态行为具有重要意义。
对于Liénard方程的Poincaré分岔问题，本文的研究不仅给出了理论上的充分条件，而且提供了一种可以实际应用的判别方法，即通过特定的函数形式和性质来判断系统是否会出现极限环。在工程和应用数学领域，这样的理论研究对于设计稳定系统和预测系统行为变化具有重要价值。
吕宝红通过这项研究，利用定性分析的方法，为解决类似Liénard方程这样复杂系统的稳定性问题提供了新的视角。这些方法不仅有助于理解理论上的分岔现象，而且在实践中对于避免系统潜在的不稳定性具有指导意义。该论文通过对一阶Mel'nikov函数的深入分析和对Poincaré分岔的详细研究，为Liénard方程极限环的不存在性提供了重要的理论基础和实用准则。
