Liénard方程是研究非线性振动理论中的一个重要方程，用于描述具有非线性阻尼和非线性恢复力的振动系统。在数学领域，Liénard方程的研究通常涉及分析其解的性质，包括解的稳定性、周期解的存在性以及极限环的性质等。极限环是指在一个二维自治动力系统中，相轨迹趋于一个封闭轨道，这种轨道被称为极限环，可以认为代表了一个稳定的周期解。
1986年发表的一篇关于Liénard方程极限环唯二性定理的注记，其重要性在于它涉及了极限环理论的一个核心问题，即在一定条件下一个系统的极限环的存在性和唯一性问题。唯二性定理指的是在给定的条件和参数范围内，方程的极限环最多只有一个，这为系统的动力学行为提供了清晰的描述。
文章中首先证明了一个关于Liénard方程极限环的唯二性定理，即在一个非线性系统中，如果满足特定条件，则该系统最多只有一个极限环存在。这一结果对理论研究和实际应用都有重要意义。随后，张芷芬对该定理的条件进行了改进，提出了更弱的条件，这样可以将定理应用到更多的情形中。文章作者进一步削弱了定理的条件，特别是去掉了对称性要求，即去掉了F(-x)=-F(x)的条件。通过这些改进，定理的适用范围被进一步拓宽，能够适用于更多类型的非线性系统。
文章中还讨论了微分方程x+f(x)'+x'=0或其等价方程组，在数学上可以简化为y=F(x)，其中F(x)是某个特定函数。作者对这些方程的解的行为进行了分析，提出了几个关键的引理来证明极限环的唯一性。例如，引理1提出了在一定条件下，通过积分表达式能够得到关于解的唯一性的结论。引理2则涉及到在特定区间的函数性质，并通过构造特定的函数来证明极限环的唯一性。
为了证明极限环的存在性，文章中提出了利用积分函数来构建关于特定点的闭轨线，并证明如果这个闭轨线与等倾线相交，则必包含特定点于其内部。这一部分的分析利用了几何和代数的相结合方法，通过构造辅助函数，并分析其变化趋势来证明闭轨线的存在性。
这些引理和分析方法不仅证明了Liénard方程极限环的唯二性定理，也展示了在分析非线性动力系统时所采用的一些高级数学技巧和方法，这对于理论物理、工程学以及相关应用科学的研究者来说都是宝贵的知识财富。
1986年的这篇论文在Liénard方程极限环的研究中做出了重要贡献，通过削弱条件和引入新的分析方法，使得唯二性定理有了更广泛的适用性。这些成果对于理解非线性系统的长期行为，尤其是在系统稳定性和周期解的分析方面，提供了有力的理论支持。
