"人工智能-机器学习-Filippov型常微分方程和省略机微分方程的实用稳定性及数值计算"
本文研究了 Filippov 型常微分方程的广义实用稳定性、系数间断的随机微分方程的 P 次均值实用稳定性，以及系数间断的随机微分方程的数值解法。我们首先研究了 Filippov 型常微分方程的广义实用稳定性，利用了 Lyapunov-like 函数以及 Filippov 型常微分方程解的性质给出了 Filippov 型常微分方程的广义实用稳定性、一致广义实用稳定性和广义实用不稳定性的判别条件。然后，我们研究了系数间断的随机微分方程的 P 次均值实用稳定性，利用 Lyapunov-like 函数和一些基本假设条件给出了系数间断的随机微分方程的 P 次均值实用稳定性的判别条件，并且给出了数值实验。我们研究了系数间断的随机微分方程的数值解法，用 Huen 格式数值求解系数间断的随机微分方程，证明了该格式是弱收敛的。
在本文中，我们首先介绍了 Filippov 型常微分方程的概念和基本性质，然后研究了其广义实用稳定性。我们发现，Filippov 型常微分方程的广义实用稳定性可以通过 Lyapunov-like 函数和 Filippov 型常微分方程解的性质来判别。我们还研究了系数间断的随机微分方程的 P 次均值实用稳定性，并且给出了数值实验。
在理论研究的基础上，我们还应用了我们的理论结果到自行车刹车系统的模型和 1-DOF 模型中，证明了在周期解附近它们是广义实用稳定的。我们还比较了 Euler 格式和 Huen 格式数值求解系数间断的随机微分方程的收敛速度。
本文的主要贡献在于，我们研究了 Filippov 型常微分方程的广义实用稳定性、系数间断的随机微分方程的 P 次均值实用稳定性，以及系数间断的随机微分方程的数值解法，并且应用了我们的理论结果到实际问题中。我们的研究结果可以为实际问题的解决提供理论依据和方法ological 支持。
在实际生活中，很多物理过程都包含着若干个状态，物体的运动可以在各状态之间跃迁，而且跃迁的时间同系统的运动时间尺度相比可以忽略不计。如果系统的每一种运动状态都可以用一个常微分方程来描述时，则相应的数学模型就为一个分片定义的常微分方程。例如，自行车刹车系统可以简单地描述为图 1.0.1 中的结构，其中 FS 表示自行车车轮，m 表示自行车轧片质量，l 表示车轮的线速度，f 表示刹车时外加的力。我们知道自行车车轮的材质是铁或是钢，也就是不易发生形变的物质，而刹车轧片的材质是胶皮，那么在外力的作用下会发生形变。在刹车时，车轮和轧片之间的相互作用力包括弹性力和阻尼力。因此我们将图 1.0.1 中一侧的轧片与车轮之间的作用力简化为图 1.0.2 中的模型。
在本文中，我们还研究了系数间断的随机微分方程的数值解法，用 Huen 格式数值求解系数间断的随机微分方程，证明了该格式是弱收敛的。我们还从数值的角度比较了 Euler 格式和 Huen 格式数值求解系数间断的随机微分方程的收敛速度。
本文研究了 Filippov 型常微分方程的广义实用稳定性、系数间断的随机微分方程的 P 次均值实用稳定性，以及系数间断的随机微分方程的数值解法，并且应用了我们的理论结果到实际问题中。我们的研究结果可以为实际问题的解决提供理论依据和方法ological 支持。
