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1988考研数学一、二、三真题2
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一、(每小题 5,本题满分 15 分) 二、填空题:(本题满分 12 分,每小题 3 分) 三、选择题(每小题 3 分,满分 15 分) 四、(本题满分 6 分
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刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828@189.cn
1
1988 年全国硕士研究生入学统一考试
数学Ⅰ
一、(每小题 5,本题满分 15 分)
(1)求幂级数
1
3
3
n
n
n
x
n
的收敛域.
(2)已知
2
x
f x e
,
1
f x x
,且
0
x
.求
x
并写出它的定义域.
(3)设
S
为曲面
2 2 2
1
x y z
的外侧,计算曲面积分
3 3 3
S
I x dydz y dzdx z dxdy
.
二、填空题:(本题满分 12 分,每小题 3 分)
(1)若
2
1
lim 1
t x
x
f t t
x
,则
f t
(2)设
f x
是周期为 2 的周期函数,它在区间
1,1
上定义为
3
2, 1 0
,0 1
x
f x
x x
,
则
f x
的傅里叶级数在
1
x
处收敛于 .
(3)设
f x
是连续函数,且
3
1
0
x
f t dt x
,则
7
f
.
(4)设 4 阶矩阵
2 3 4
, , ,
A
,
2 3 4
, , ,
B
,其中,
2 3 4
, , , ,
均为 4 维
列向量,且已知行列式
4
A
,
1
B
,则行列式
A B
.
三、选择题(每小题 3 分,满分 15 分)
(1)若函数
y f x
有
0
1
2
f x
,则当
0
x
时,该函数在
0
x x
处的微分
dy
是( )
(A)与
x
等价的无穷小 (B)与
x
同阶的无穷小
(C)比
x
低阶的无穷小 (D)比
x
高阶的无穷小
(2)设
( )
y f x
是方程
2 4 0
y y y
的一个解,若
( ) 0
f x
,且
0
( ) 0
f x
,则函
数
( )
f x
在点
0
x
(A)取得极大值 (B)取得极小值
(C)某个邻域内单调增加 (D)某个邻域内单调减少
(3)设有空间区域
2 2 2 2
1
: , 0
x y z R z
及
2 2 2 2
2
:
x y z R
,
0, 0, 0
x y z
,则( )
(A)
1 2
4
xdv xdv
(B)
1 2
4
ydv ydv
(C)
1 2
4
zdv zdv
(D)
1 2
4
xyzdv xyzdv
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2
(4)若
1
1
n
n
n
a x
在
1
x
处收敛,则此级数在
2
x
处( )
(A)条件收敛 (B) 绝对收敛
(C)发散 (D)收敛性不能确定
(5)
n
维向量组
1 2
, , , 3
s
s n
线性无关的充分必要条件是( )
(A)有一组不全为 0 的数
1 2
, , ,
s
k k k
,使
1 1 2 2
0
s s
k k k
(B)
1 2
, , ,
s
中任意两个向量都线性无关
(C)
1 2
, , ,
s
中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出
(D)
1 2
, , ,
s
中任意一个向量都不能用其余向量线性表出
四、(本题满分 6 分)
设
x y
u yf xg
y x
,其中
,
f g
具有二阶连续导数,求
2 2
2
u u
x y
x x y
.
五、(本题满分 8 分)
设函数
y y x
满足微分方程
3 2 2
x
y y y e
,且图形在点
0,1
处的切线与曲线
2
1
y x x
在该点的切线重合,求函数
y y x
.
六、(本题满分 9 分)
设位于点
0,1
的质点
A
对质点
M
的引力大小为
2
k
r
(
0
k
为常数,
r
为质点
A
与
M
之间
的距离),质点
M
沿曲线
2
2
y x x
自
2,0
B
运动到
0,0
O
.求在此运动过程中质点
A
对质点
M
的引力所做的功.
七、(本题满分 6 分)
刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828@189.cn
3
已知
AP PB
,其中
1 0 0
0 0 0
0 0 1
B
,
1 0 0
2 1 0
2 1 1
P
,求
A
及
5
A
.
八、(本题满分 8 分)
已知矩阵
2 0 0
0 0 1
0 1
A
x
与
2 0 0
0 0
0 0 1
B y
相似,
(1)求
x
与
y
,(2)求一个满足
1
P AP B
的可逆矩阵
P
.
九、(本题满分 9 分)
设函数
f x
在区间
,
a b
上连续,且在
,
a b
内有
0
f x
.证明:在
,
a b
内存在唯
一的
,使 曲线
y f x
与两 直线
y f
,
x a
所围 平面 图 形面 积
1
S
是曲 线
y f x
与两直线
y f
,
x b
所围平面图形面积
2
S
的 3 倍.
十、填空题(每小题 2 分,满分 6 分)
(1)设三次独立试验中,事件
A
出现的概率相等.若已知
A
至少出现一次的概率等于
19
27
,
则事件
A
在一次试验中出现的概率为
(2)在区间
0,1
中随机地取两个数,则事件“两数之和小于
6
5
”概率为
(3)设随机变量
X
服从均值为
10
,均方差为
0.02
的正态分布.已知
2
2
1
2
u
x
x e du
,
2.5 0.9938
,则
X
落在区间
9.95,10.05
内的概率为
十一、(本题满分 6 分)
设随机变量
X
的概率密度函数为
2
1
( )
1
X
f x
x
,求随机变量
3
1
Y X
的概率
密度函数
( )
Y
f y
.
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艾斯·歪
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