清华笔记：计算共形几何讲义 (25) 共形几何的概率解释1

共形几何是数学中的一个重要分支，它研究在不同的几何结构下保持形状不变的映射。在本篇讨论中，我们聚焦于共形几何的概率解释，特别是在平面中的应用。这一概念与布朗运动和共形变换紧密相关。 布朗运动是一种随机过程，描述了微小粒子在连续时间内的随机轨迹。在共形几何的框架下，当一个粒子在曲面上做布朗运动时，其速度方向在单位圆周上均匀分布。关键的发现是，共形变换不会改变这个概率分布，因为共形变换保持无穷小圆的形状。这意味着共形变换会保留布朗运动的本质性质。因此，我们得出一个重要的定理：共形变换能够保持布朗运动的特性。 在实际应用中，这个理论可以用来理解和分析电阻。以一个单联通曲面为例，如果在边界上设置电极，一个粒子从某一点出发做布朗运动，其到达另一边界点的概率就相当于曲面的等效电阻。通过共形变换，我们可以将曲面映射到一个平面长方形，保持电阻不变。长方形的等效电阻由长宽比例决定，这等价于曲面的极值长度。 接着，我们探讨了离散黎曼映射和最大双曲圆盘填充的概念。离散黎曼映射允许我们将曲面分解为双曲三角形，每个顶点处的圆盘半径和角度满足特定条件，以保持曲率不变。通过优化离散熵能量，我们可以找到实现特定目标高斯曲率的双曲度量。在边界半径固定，内部顶点曲率设为0的情况下，我们得到一个最大圆盘填充，其中每个圆周满足相互相切，边界圆周与单位圆相切，且圆周以顶点为中心。这样的圆盘填充是唯一的，可以通过双曲等距变换（莫比乌斯变换）相互转换。 此外，我们还讨论了组合单值化定理，这是关于无限三角剖分的离散共形等价性。在无穷三角剖分的极限行为中，有两种可能的情形：中心圆周半径趋于常数或0。前者对应于曲面离散共形等价于复平面，后者则等价于单位圆盘。这一理论可以从随机行走的角度理解，行走者在平面图中移动，根据其是否能回到起点的概率，判断曲面是常返的还是过渡的。 总结来说，这篇讲义揭示了共形几何在概率论、电路理论以及无限图的离散共形等价性中的深刻应用。通过共形变换，我们可以理解随机过程在不同几何结构下的行为，同时提供了处理复杂曲面和网络的新方法。这些概念不仅在纯数学中有重要意义，还在物理学、工程学和计算机科学中有着广泛的应用。