图1. 曲面注册问题的描述。
在工程和医学实践领域，寻找曲面间满足特定的限制条件的高质量微分同胚，一直是最为根本的
问题之一。研究曲面间映射的数学分支是拟共形映射理论，其主要内容是研究曲面间映射的表
示，满足特定限制的映射的存在性和唯一性，在映射空间中的优化和变分，最优映射和全纯微分
的内在关系等等。
例如图1所示，给定两张三维人脸曲面，上面标注着相应的特征点 和 ，我
们希望找到微分同胚 ，满足
，
同时此微分同胚尽量光滑，减小几何畸变。在通常情况下，满足这些限制的共形变换是不存在
的。我们需要将共形映射拓广到一般的微分同胚，如图2所示的拟共形映射。
