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清华笔记：计算共形几何讲义（24）Teichmuller 映射1

计算机视觉

深度学习

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1. R. Schoen and S.-T. Yau, On univalent harmonic maps between surfaces. 2. E. K

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清华笔记：计算共形几何讲义（24）Teichmuller 映射

顾险峰 2017-08-21老顾谈几何

图0. 动态人脸曲面的匹配和跟踪【4】。

曲面注册和追踪是计算机视觉和医学图像领域最为基本的问题之一。对于大形变、动态

变化、复杂拓扑曲面，求解曲面间的微分同胚是一个非常具有挑战性的问题。迄今为

止，深度学习的方法还无法直接解决这个挑战。传统的微分几何方法依然占据主导位

置。特别是Teichmuller映射理论和调和映照理论，为解决这个问题提供了强有力的理

论依据。

Teichmuller理论和调和映照理论依然在迅猛发展，在这一讲我们介绍这些理论的梗

概。对于直接计算非常有启发意义的Teichmuller空间变分原则，我们给予特别的关

注。

Teichmuller

空

间

图1. 高亏格曲面的双曲度量。

我们考虑一个带黎曼度量的可定向曲面，具有负的欧拉示性数

，同时标记上基本群的基底，

这里几何相交数满足

。

那么曲面的等温坐标构成了曲面的共形结构（conformal structure），

，

曲面成为一张黎曼面（Riemann Surface）。根据单值化定理，存在共形因子

，使得成为双曲度量。曲面的Fuchsian群和基本群同构，成为双曲等

距变换群的子群。Fuchsian群的每个生成元

具有3个独立变量。

基本群到双曲等距变换群的离散嵌入共轭类构成了所谓的 Fricke 空间，

。拓扑曲面上所有的共形结构形成Teichmuller空间，两个空

间之间存在同构

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