则所得为双曲平面的庞加莱模型（Poincare's Disk）。双曲平面上的刚体变换是莫比乌斯变换，
例如
。
莫比乌斯变换可以将边界上的任意三点变成指定的三点。Poincare模型中的单位圆为无穷远点，
双曲直线是和单位圆相互垂直的欧氏圆弧（或欧氏直线）。双曲三角形由三条双曲直线围成的多
边形；双曲圆是到双曲圆心距离等于常数的点的轨迹，双曲圆和欧氏圆重合，但是圆心不重合，
圆心靠近边界。
另外一种双曲平面的模型 ，配有黎曼度量
,
双曲等距变换为特殊线性群 ，
。
实数轴为无穷远直线，测地线是和实数轴垂直的直线，或者半圆弧。如图1所示，两点之间的双曲
距离如下计算：给定两点 ，我们做过这两点的双曲直线，两个无穷远点为 ，计算这4个点
的交比，记为 ，
,
则双曲距离为
。
图1. hyperbolic lines，Ideal hyperbolic triangles。
我们主要应用一种特殊的双曲三角形，ideal hyperbolic triangle，其三个顶点都在无穷远处，
边长为无穷大，三个内角为0，但是面积为 。所有的ideal hyperbolic triangles 彼此等距。
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